Исследовательские задачи Упр.2 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Тетраэдр называется равногранным, если все его грани равны друг другу. Докажите, что тетраэдр является равногранным тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих условий: а) противоположные рёбра тетраэдра равны; б) сумма плоских углов при каждой вершине тетраэдра равна $$180^\circ$$; в) бимедианы тетраэдра попарно перпендикулярны; г) бимедианы тетраэдра являются общими перпендикулярами прямых, содержащих противоположные рёбра тетраэдра; д) центры вписанной и описанной сфер тетраэдра совпадают; е) центр описанной сферы и центр масс (т. е. точка пересечения медиан) тетраэдра совпадают; ж) центр вписанной сферы и центр масс тетраэдра совпадают; з) четыре медианы тетраэдра равны друг другу; и) четыре высоты тетраэдра равны друг другу; к) грани тетраэдра равновелики.
Пусть тетраэдр $$ABCD$$ равногранный, то есть все его грани равны. Докажем, что для него выполняется каждое из перечисленных свойств, и наоборот, каждое из них влечёт равногранность тетраэдра.
а) Противоположные рёбра равны
Пусть $$\triangle DAC \cong \triangle DBC \cong \triangle ABC \cong \triangle DAB.$$ Тогда из равенства соответствующих сторон получаем:
$$AC=BD,\quad AD=BC,\quad AB=CD.$$
Значит, противоположные рёбра тетраэдра попарно равны.
Обратно, если $$AC=BD,\ AD=BC,\ AB=CD,$$ то треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$ равны по трём сторонам, а значит, равны и остальные грани. Следовательно, тетраэдр равногранный.
б) Сумма плоских углов при каждой вершине равна $$180^\circ$$
Из равенства граней следует:
$$AC=BD,\quad AD=BC,\quad AB=CD,$$
а также равенство соответствующих углов, например:
$$\angle BCA=\angle DAB,\quad \angle ABC=\angle CDA,\quad \angle BAC=\angle CBD.$$
Тогда сумма плоских углов при вершине $$A$$ равна сумме углов треугольника $$BCD$$:
$$\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB=180^\circ.$$
Аналогично для остальных вершин. Обратно, если при каждой вершине сумма плоских углов равна $$180^\circ,$$ то из этого следует равенство соответствующих граней, то есть тетраэдр равногранный.
в) Бимедианы тетраэдра попарно перпендикулярны
Обозначим середины рёбер $$AB,\,BC,\,CD,\,DA,\,AC,\,BD$$ через соответствующие точки. В равногранном тетраэдре противоположные рёбра равны, поэтому соответствующие бимедианы являются диагоналями ромбов, составленных из середин граней. Диагонали ромба перпендикулярны, значит, бимедианы тетраэдра попарно перпендикулярны.
Обратно, если бимедианы попарно перпендикулярны, то из их взаимной перпендикулярности следует равенство противоположных рёбер, а значит, равенство всех граней тетраэдра.
г) Бимедианы являются общими перпендикулярами прямых, содержащих противоположные рёбра
Из пункта а) имеем:
$$AC=BD,\quad AD=BC,\quad AB=CD.$$
Тогда, например, в равнобедренном треугольнике $$ACD$$ медиана к основанию $$CD$$ перпендикулярна ему, а аналогично для других пар рёбер. Следовательно, каждая бимедиана перпендикулярна обеим прямым, содержащим противоположные рёбра, то есть является их общим перпендикуляром.
Обратно, если бимедианы являются общими перпендикулярами противоположных рёбер, то противоположные рёбра равны, а значит, тетраэдр равногранный.
д) Центры вписанной и описанной сфер совпадают
В равногранном тетраэдре оси симметрии проходят через бимедианы, поэтому центр описанной сферы и центр вписанной сферы лежат в одной точке симметрии тетраэдра. Следовательно, они совпадают.
Обратно, если центры вписанной и описанной сфер совпадают, то тетраэдр обладает одинаковыми расстояниями от этой точки до всех вершин и до всех граней, что возможно только в равногранном тетраэдре.
е) Центр описанной сферы и центр масс совпадают
В равногранном тетраэдре все медианы пересекаются в одной точке, которая одновременно является центром описанной сферы. Значит, центр описанной сферы совпадает с центром масс.
Обратно, если эти центры совпадают, то все медианы проходят через одну и ту же точку симметрии, откуда следует равенство граней тетраэдра.
ж) Центр вписанной сферы и центр масс совпадают
Аналогично предыдущему пункту, в равногранном тетраэдре центр вписанной сферы совпадает с центром масс. Обратно, совпадение этих центров также приводит к равенству всех граней.
з) Четыре медианы равны друг другу
Пусть $$AA_1,\,BB_1,\,CC_1,\,DD_1$$ — медианы тетраэдра, а $$O$$ — точка их пересечения. В равногранном тетраэдре
$$OA=OB=OC=OD=R,$$
и для любой медианы, например $$AA_1,$$ имеем
$$AA_1=OA+OA_1=R+\frac{R}{3}=\frac{4R}{3}.$$
Следовательно, все четыре медианы равны друг другу.
Обратно, если все медианы равны, то тетраэдр обладает полной симметрией, откуда следует равенство его граней.
и) Четыре высоты равны друг другу
Пусть $$AA_1,\,BB_1,\,CC_1,\,DD_1$$ — высоты тетраэдра. Тогда площади граней равны:
$$S_{ABC}=S_{ABD}=S_{ACD}=S_{BCD}=S.$$
Объём тетраэдра можно выразить через любую грань и соответствующую высоту:
$$V=\frac{1}{3}Sh.$$
Отсюда
$$h=\frac{3V}{S},$$
то есть все высоты равны друг другу.
Обратно, если все высоты равны, то равны и площади соответствующих граней, а значит, равны и сами грани тетраэдра.
к) Грани тетраэдра равновелики
Если $$S_{ABC}=S_{ABD}=S_{ACD}=S_{BCD},$$ то для каждого ребра соответствующие треугольники имеют одинаковые площади и одинаковые высоты к этому ребру. Отсюда следует равенство соответствующих сторон, а значит, равенство всех граней тетраэдра.
Итак, все перечисленные условия эквивалентны тому, что тетраэдр является равногранным.
