Исследовательские задачи Упр.2 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что тетраэдр является равногранным тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих условии:
а) противоположные рёбра тетраэдра равны;
б) сумма плоских углов при каждой вершине тетраэдра равна 180°;
в) бимедианы тетраэдра попарно перпендикулярны;
г) бимедианы тетраэдра являются общими перпендикулярами прямых, содержащих противоположные рёбра тетраэдра;
д) центры вписанной и описанной сфер тетраэдра совпадают;
е) центр описанной сферы и центр масс (т. е. точка пересечения медиан) тетраэдра совпадают;
ж) центр вписанной сферы и центр масс тетраэдра совпадают;
з) четыре медианы тетраэдра равны друг другу;
и) четыре высоты тетраэдра равны друг другу;
к) грани тетраэдра равновелики.

Подробный ответ

Докажем, что для тетраэдра равносильны все перечисленные условия.

а) Пусть $$\triangle PAC=\triangle PBC=\triangle ABC=\triangle PAB.$$ Тогда из равенства соответствующих сторон получаем:

если $$PC=AB,$$ то $$PC=PB$$ или $$PC=PA$$;
если $$PC=PB,$$ то $$PC=AP$$ и, значит, $$AP=PB=PC$$;
если $$PC=PA,$$ то $$AP=BC$$;
если $$PC=PB,$$ то $$AC=BC$$;
если $$PC=AP,$$ то $$AC=AB$$.

Следовательно, противоположные рёбра тетраэдра равны.

Обратно, если противоположные рёбра тетраэдра равны, то

$$AC=PB,\quad AP=BC,\quad PC=AB,$$

и потому

$$\angle PBA=\angle PAC,\qquad \angle PBC=\angle PCA.$$

Тогда в треугольнике $$ABC$$ сумма углов равна

$$\angle A+\angle B+\angle C=\angle PBA+\angle ABC+\angle PBC=180^\circ,$$

то есть сумма плоских углов при каждой вершине тетраэдра равна $$180^\circ.$$

б) Из пункта а) уже получено, что при равенстве противоположных рёбер

$$AC=PB,\quad AP=BC,\quad PC=AB.$$

Тогда в треугольнике $$ABC$$

$$\angle PBA=\angle PAC,\qquad \angle PBC=\angle PCA,$$

а значит

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.$$

Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине тетраэдра равна $$180^\circ.$$

в) Пусть $$D,F,E,G,H,K$$ — середины рёбер. Тогда

$$DF\parallel GE\parallel AB,\qquad FE=GE=\frac12 AB,$$

$$DG\parallel FE\parallel PC,\qquad DG=FE=\frac12 PC=GE.$$

В ромбе $$DFEG$$ диагонали $$DE$$ и $$FG$$ перпендикулярны. Аналогично в ромбе $$DHEK$$ имеем $$HK\perp DE.$$ Значит, бимедианы тетраэдра попарно перпендикулярны.

г) Из пункта а) следует:

$$AC=PB,\quad PC=AB,\quad AP=BC.$$

Тогда в равнобедренных треугольниках $$CDB$$, $$APE$$ и аналогичных им бимедианы являются высотами, то есть перпендикулярны соответствующим противоположным рёбрам. Следовательно, бимедианы тетраэдра являются общими перпендикулярами прямых, содержащих противоположные рёбра.

д) Из предыдущего пункта получаем, что бимедианы тетраэдра являются осями симметрии. Поэтому центр вписанной сферы и центр описанной сферы совпадают.

е) Пусть $$O$$ — центр масс тетраэдра. Тогда для радиус-векторов верно:

$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OP}=0.$$

Если центр описанной сферы совпадает с центром масс, то

$$OA=OB=OC=OP=R,$$

и точка $$O$$ является также центром описанной сферы. Значит, центры масс и описанной сферы совпадают.

ж) Аналогично, если центр вписанной сферы совпадает с центром масс, то центр масс равноудалён от всех граней тетраэдра, а значит совпадает с центром вписанной сферы.

з) Из пункта е) получаем, что

$$OA=OB=OC=OP=R,$$

а точки $$AA_1, BB_1, CC_1, PP_1$$ — медианы тетраэдра. Тогда

$$AA_1=BB_1=CC_1=PP_1=OA+\frac{R}{3}=\frac{4R}{3}.$$

Следовательно, четыре медианы тетраэдра равны друг другу.

и) Пусть $$AA_1, BB_1, CC_1, PP_1$$ — высоты тетраэдра. Тогда площади граней равны:

$$S_{ABC}=S_{PAB}=S_{PBC}=S_{PAC}=S.$$

Объём тетраэдра равен

$$V_{PABC}=\frac13 Sh.$$

Отсюда

$$h=\frac{3V_{PABC}}{S},$$

и потому