Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.2 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ на стороне $$BC$$ взята точка $$D$$ так, что $$BD:DC=1:4$$. В каком отношении прямая $$AD$$ делит высоту $$BE$$ треугольника $$ABC$$, считая от вершины $$B$$?

В равнобедренном $$\triangle ABC$$ с основанием $$AC$$ высота $$BE$$ является также медианой, значит точка $$E$$ — середина основания, и потому

$$AE=CE.$$

Рассмотрим треугольник $$BEC$$. Точка $$D$$ лежит на стороне $$BC$$, а прямая $$AD$$ пересекает прямую $$BE$$ в точке $$P$$. Тогда для треугольника $$BEC$$ применим теорему Менелая к прямой $$A P D$$:

$$\frac{BP}{PE}\cdot \frac{CD}{DB}\cdot \frac{AE}{EC}=1.$$

Так как $$BD:DC=1:4$$, то

$$\frac{CD}{DB}=4,$$

а также $$\frac{AE}{EC}=1.$$ Подставим:

$$\frac{BP}{PE}\cdot 4 \cdot 1=1,$$

откуда

$$\frac{BP}{PE}=\frac14.$$

Значит,

$$BP:PE=1:4.$$

Ответ: $$1:4$$.