Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.2 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Найдите косинус угла между прямой $$AA_1$$ и плоскостью $$BC_1D$$.

Обозначим через $$M$$ середину диагонали $$BD$$. Тогда в квадрате $$BCD C_1$$ прямая $$CC_1$$ перпендикулярна плоскости $$DBC$$, а значит угол между прямой $$AA_1$$ и плоскостью $$BC_1D$$ равен углу между прямой $$CC_1$$ и прямой $$C_1M$$, лежащей в этой плоскости.

Так как $$M$$ — середина диагонали $$BD$$, то $$DM=BM$$ и $$CM=\frac12 AC=\frac12 BD$$.

В прямоугольном треугольнике $$BCD$$:

$$BD=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2.$$

Следовательно,

$$CM=\frac12 BD=\frac{a\sqrt2}{2}=\frac{a}{\sqrt2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CC_1M$$. Тогда

$$C_1M=\sqrt{CC_1^2+CM^2} =\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}} =\sqrt{\frac{3a^2}{2}} =a\sqrt{\frac32}.$$

Искомый косинус:

$$\cos\angle MC_1C=\frac{CC_1}{C_1M} =\frac{a}{a\sqrt{\frac32}} =\sqrt{\frac23}.$$

Ответ: $$\sqrt{\frac23}$$.