Подготовка к ЕГЭ Задание 8 Упр.2 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ известны рёбра: $$AB=5$$, $$AD=4$$, $$AA_1=4$$. Найдите угол $$C_1BC$$. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольник $$CBC_1.$$

Так как $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ — прямоугольный параллелепипед, то ребро $$BC$$ перпендикулярно ребру $$CC_1$$, значит треугольник $$CBC_1$$ прямоугольный, $$\angle C=90^\circ.$$

Найдём его катеты:

$$BC=AD=4,$$

$$CC_1=AA_1=4.$$

Тогда гипотенуза

$$C_1B=\sqrt{BC^2+CC_1^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.$$

Теперь найдём угол $$\angle C_1BC$$:

$$\cos \angle C_1BC=\frac{BC}{BC_1}=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Следовательно,

$$\angle C_1BC=45^\circ.$$

Ответ: $$45^\circ$$