Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.2 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1. Найдите косинус угла между прямой AA_1 и плоскостью BC_1D.

Обозначим сторону куба через $$a$$. Угол между прямой $$AA_1$$ и плоскостью $$BC_1D$$ равен углу между прямой $$AA_1$$ и её ортогональной проекцией на эту плоскость.

Пусть $$M$$ — середина диагонали $$BD$$. Тогда в квадрате $$BCD A$$ точка $$M$$ является серединой диагонали $$BD$$, значит $$CM \perp BD$$ и $$CM=\dfrac12 AC$$.

Так как $$AC=a\sqrt{2}$$, то

$$CM=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$

В кубе $$CC_1 \perp (ABC D)$$, следовательно, $$CC_1 \perp CM$$. Поэтому треугольник $$CC_1M$$ прямоугольный, и

$$C_1M=\sqrt{CM^2+CC_1^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}+a^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{2}}=a\sqrt{\frac32}.$$

Теперь найдём косинус искомого угла. В прямоугольном треугольнике $$CC_1M$$

$$\cos \angle MC_1C=\frac{CC_1}{C_1M}=\frac{a}{a\sqrt{\frac32}}=\sqrt{\frac23}.$$

Следовательно, косинус угла между прямой $$AA_1$$ и плоскостью $$BC_1D$$ равен $$\sqrt{\frac23}$$.

Ответ

$$\sqrt{\frac23}$$