Упр.199 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Точка $$S$$ равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника. Докажите, что прямая $$SM$$, где $$M$$ — середина гипотенузы, перпендикулярна к плоскости треугольника.

Рассмотрим треугольники $$ASB$$ и $$CSB$$.

Так как $$SA=SB=SC$$, то

$$SA=SC,\quad SB=SB.$$

Кроме того, $$SM$$ — общая сторона. Значит, треугольники $$ASM$$ и $$CSM$$ равны по трём сторонам, если установить равенство $$AM=CM$$.

Но в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Поэтому, если $$M$$ — середина гипотенузы $$AB$$, то

$$AM=BM=CM.$$

Тогда в треугольниках $$ASM$$ и $$CSM$$ имеем:

$$AS=CS,\quad AM=CM,\quad SM=SM.$$

Следовательно, $$\triangle ASM \cong \triangle CSM$$ по трём сторонам, откуда

$$\angle AMS=\angle CMS.$$

Так как точки $$A, M, B$$ лежат на одной прямой, а $$M$$ — середина гипотенузы, то прямая $$SM$$ является медианой в равнобедренном треугольнике $$ASB$$, значит, она перпендикулярна основанию:

$$SM \perp AB.$$

Из равенства треугольников также получаем, что $$SM$$ перпендикулярна и прямой $$CM$$. Поскольку прямые $$AB$$ и $$CM$$ пересекаются и лежат в плоскости треугольника $$ABC$$, то

$$SM \perp (ABC).$$

Ответ: $$SM \perp (ABC)$$.