Упр.198 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: ТочкаА лежит в плоскости а, a точка B удалена от этой плоскости на расстояние 9 см. Точка M делит отрезок AB в отношении 4 : 5, считая от точки А. Найдите расстояние от точки M до плоскости а.

Пусть $$B_1$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$B$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$BB_1=9$$ см.

Через точку $$M$$ проведём перпендикуляр $$MM_1$$ к плоскости $$\alpha$$. Тогда $$MM_1$$ — искомое расстояние от точки $$M$$ до плоскости $$\alpha$$.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $$A, B, M$$. В этой плоскости треугольники $$\triangle ABB_1$$ и $$\triangle AMM_1$$ подобны, так как:

• $$\angle ABB_1 = \angle AMM_1 = 90^\circ$$;
• $$\angle A$$ — общий угол при вершине $$A$$.

Из подобия следует пропорция:

$$\frac{BB_1}{MM_1}=\frac{AB}{AM}.$$

По условию $$AM:MB=4:5$$, значит

$$AB=AM+MB=4x+5x=9x,$$

поэтому

$$\frac{AB}{AM}=\frac{9x}{4x}=\frac{9}{4}.$$

Тогда

$$\frac{9}{MM_1}=\frac{9}{4},$$

откуда

$$MM_1=4.$$

Следовательно, расстояние от точки $$M$$ до плоскости $$\alpha$$ равно $$4$$ см.

Ответ

$$4\text{ см}$$