Упр.198 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точка A лежит в плоскости $$\alpha$$, а точка B удалена от этой плоскости на расстояние 9 см. Точка M делит отрезок AB в отношении $$4:5$$, считая от точки A. Найдите расстояние от точки M до плоскости $$\alpha$$.

Пусть $$B_1$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$B$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$BB_1=9$$ см.

Через точку $$M$$ проведём перпендикуляр $$MM_1$$ к плоскости $$\alpha$$. Тогда $$MM_1$$ — искомое расстояние от точки $$M$$ до плоскости $$\alpha$$.

Точки $$A, M, B$$ лежат на одной прямой, причём $$AM:MB=4:5$$, значит

$$AB=AM+MB,$$

и потому

$$\frac{AB}{AM}=\frac{AM+MB}{AM}=1+\frac{MB}{AM}=1+\frac{5}{4}=\frac{9}{4}.$$

Треугольники $$\triangle ABB_1$$ и $$\triangle AMM_1$$ подобны: у них по одному прямому углу, а угол при $$A$$ общий.

Из подобия получаем

$$\frac{BB_1}{MM_1}=\frac{AB}{AM}=\frac{9}{4}.$$

Тогда

$$MM_1=\frac{4}{9}\cdot BB_1=\frac{4}{9}\cdot 9=4\text{ см}.$$

Ответ: $$4$$ см.