Атанасян 10-11 класс

Упр.195 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Атанасян, Бутузов, Кадомцев

11 класс

Автор

Атанасян, Бутузов, Кадомцев

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Упр.195 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если AC1 = 12 см и диагональ BD1 составляет с плоскостью грани AA1D1D угол в 30°, а с ребром DD1 — угол в 45°.

Подробный ответ

Обозначим $$AB=x,$$ $$AD=y,$$ $$DD_1=z.$$ Тогда в прямоугольном параллелепипеде

$$AC_1^2=x^2+y^2+z^2=144.$$

Рассмотрим диагональ $$BD_1.$$ Её проекция на плоскость грани $$AA_1D_1D$$ — это отрезок $$AD_1.$$ Поэтому

$$\angle(BD_1,AA_1D_1D)=\angle BD_1A=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$BDD_1$$ угол между $$BD_1$$ и ребром $$DD_1$$ равен $$45^\circ$$, значит треугольник $$BDD_1$$ равнобедренный прямоугольный. Следовательно,

$$BD=DD_1=z,$$

а также

$$BD_1=z\sqrt2.$$

Но по условию $$\angle(BD_1,DD_1)=45^\circ,$$ значит

$$BD=DD_1=z.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$BDD_1$$:

$$BD^2+DD_1^2=BD_1^2,$$

то есть

$$z^2+z^2=(z\sqrt2)^2,$$

что подтверждает равенство катетов.

Рассмотрим треугольник $$AD_1B.$$ По теореме косинусов:

$$AB^2=AD_1^2+BD_1^2-2\cdot AD_1\cdot BD_1\cos 30^\circ.$$

Так как $$AD_1^2=y^2+z^2,$$ $$BD_1= z\sqrt2,$$ а из прямоугольного треугольника $$BDD_1$$ получаем $$z=BD,$$ то удобнее сначала найти $$z.$$

Из прямоугольного треугольника $$BDD_1$$ и угла $$45^\circ$$ имеем

$$BD=DD_1=z.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABD$$:

$$BD^2=AB^2+AD^2,$$

то есть

$$z^2=x^2+y^2.$$

С другой стороны, из $$AC_1^2=x^2+y^2+z^2=144$$ и $$x^2+y^2=z^2$$ получаем

$$2z^2=144,$$

$$z^2=72,$$

$$z=6\sqrt2.$$

Теперь

$$x^2+y^2=72.$$

Так как проекция диагонали $$BD_1$$ на плоскость $$AA_1D_1D$$ — это $$AD_1,$$ то в прямоугольном треугольнике $$AD_1B$$ угол между $$BD_1$$ и плоскостью равен $$30^\circ$$, значит

$$\cos 30^\circ=\frac{AD_1}{BD_1}.$$

Следовательно,

$$AD_1=BD_1\cos 30^\circ=6\sqrt2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt6.$$

Но

$$AD_1^2=AD^2+DD_1^2=y^2+72.$$

Тогда

$$y^2+72=54,$$

что невозможно, значит удобнее использовать соотношение из исходного решения: пусть $$AD=y,$$ тогда $$AD_1=\sqrt{72+y^2}.$$ По теореме косинусов в треугольнике $$AD_1B$$:

$$x^2=(72+y^2)+144-2\cdot \sqrt{72+y^2}\cdot 12\cdot \frac{\sqrt3}{2}.$$

Так как $$x^2+y^2=72,$$ получаем

$$72-y^2=216+y^2-12\sqrt3\sqrt{72+y^2}.$$

После преобразований:

$$12\sqrt3\sqrt{72+y^2}=144+2y^2.$$

Возведём в квадрат:

$$432(72+y^2)=(144+2y^2)^2.$$

Положим $$t=y^2.$$ Тогда

$$432(72+t)=(144+2t)^2,$$

$$31104+432t=20736+576t+4t^2,$$

$$4t^2+144t-10368=0,$$

$$t^2+36t-2592=0.$$