Упр.195 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, если $$AC_1=12\text{ см}$$ и диагональ $$BD_1$$ составляет с плоскостью грани $$AA_1D_1D$$ угол $$30^\circ$$, а с ребром $$DD_1$$ — угол $$45^\circ$$.
Пусть $$AB=x,$$ $$AD=y,$$ $$AA_1=z.$$ Тогда для прямоугольного параллелепипеда
$$AC_1^2=x^2+y^2+z^2=144.$$
Диагональ $$BD_1$$ образует с плоскостью грани $$AA_1D_1D$$ угол $$30^\circ$$. Проекция точки $$B$$ на эту плоскость — точка $$A$$, значит проекцией отрезка $$BD_1$$ на плоскость является $$AD_1$$, и в прямоугольном треугольнике $$BDD_1$$ имеем
$$\angle BDD_1=45^\circ.$$
Так как $$DD_1 \perp AD,$$ то треугольник $$BDD_1$$ прямоугольный, а из $$\angle BDD_1=45^\circ$$ следует, что он равнобедренный. Поэтому
$$BD=DD_1.$$
Обозначим $$DD_1=z.$$ Тогда из прямоугольного треугольника $$BDD_1$$:
$$BD=z.$$
Но $$BD$$ — диагональ основания, значит
$$BD^2=x^2+y^2.$$
Следовательно,
$$x^2+y^2=z^2.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$AD_1B$$. В нём $$AD_1$$ — проекция диагонали $$BD_1$$ на плоскость $$AA_1D_1D$$, поэтому
$$\angle BD_1A=30^\circ,$$
и в прямоугольном треугольнике $$AD_1B$$
$$\cos 30^\circ=\frac{AD_1}{BD_1}.$$
Так как $$BD_1$$ образует с ребром $$DD_1$$ угол $$45^\circ,$$ то в прямоугольном треугольнике $$BDD_1$$
$$BD=DD_1=z,$$
а значит
$$BD_1=\sqrt{BD^2+DD_1^2}=z\sqrt2.$$
Тогда
$$AD_1=BD_1\cos 30^\circ=z\sqrt2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{z\sqrt6}{2}.$$
С другой стороны,
$$AD_1^2=y^2+z^2.$$
Подставим:
$$y^2+z^2=\left(\frac{z\sqrt6}{2}\right)^2=\frac{3z^2}{2}.$$
Отсюда
$$2y^2+2z^2=3z^2,\qquad 2y^2=z^2.$$
Значит
$$z^2=2y^2.$$
Но ранее было получено $$x^2+y^2=z^2,$$ следовательно
$$x^2+y^2=2y^2,\qquad x^2=y^2,$$
то есть
$$x=y.$$
Теперь из $$x^2+y^2+z^2=144$$ и $$z^2=2y^2,\ x=y$$ получаем
$$y^2+y^2+2y^2=144,$$
$$4y^2=144,$$
$$y=6.$$
Следовательно,
$$x=6,\qquad z=6\sqrt2.$$
Ответ: $$AB=6\text{ см},\ AD=6\text{ см},\ DD_1=6\sqrt2\text{ см}.$$
