Упр.194 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба; б) диагональ куба и диагональ грани куба.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — куб со стороной $$a$$.

а) Найдём расстояние между прямыми $$AC_1$$ и $$DD_1$$.

Так как $$DD_1 \parallel AA_1$$ и $$CC_1 \parallel AA_1$$, то $$DD_1 \parallel CC_1$$. Следовательно, расстояние между прямыми $$AC_1$$ и $$DD_1$$ равно расстоянию от точки $$D$$ до плоскости $$ACC_1$$.

Рассмотрим треугольник $$ACC_1$$. Его стороны:

$$AC=a\sqrt{2}, \qquad CC_1=a, \qquad AC_1=a\sqrt{3}.$$

Площадь треугольника $$ACC_1$$ можно найти как

$$S_{ACC_1}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot CC_1=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot a=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}.$$

С другой стороны, если обозначить искомое расстояние через $$x$$, то

$$S_{ACC_1}=\frac{1}{2}\cdot AC_1 \cdot x.$$

Тогда

$$\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{3}\cdot x=\frac{a^2\sqrt{2}}{2},$$

откуда

$$x=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$$

б) Найдём расстояние между прямыми $$AC_1$$ и $$CD_1$$.

Проведём через точку $$B$$ прямую, параллельную $$CD_1$$. Так как $$BC \parallel AD$$ и $$BD_1$$ — диагональ грани, то в плоскости, содержащей $$B$$ и прямую, параллельную $$CD_1$$, удобно рассмотреть расстояние между скрещивающимися прямыми как высоту соответствующего треугольника.

Диагональ грани куба равна $$a\sqrt{2}$$, а диагональ куба равна $$a\sqrt{3}$$. Тогда для искомого расстояния $$y$$ получаем

$$\frac{y}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}/2}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{2},$$

откуда

$$y=\frac{a\sqrt{6}}{6}.$$