Упр.194 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Ребро куба равно $$a$$. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба; б) диагональ куба и диагональ грани куба.

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ со стороной $$a$$.

а)

Найдём расстояние между прямыми $$AC_1$$ и $$DD_1$$.

Так как $$DD_1 \parallel AA_1$$, а $$AA_1 \subset (ACC_1)$$, то достаточно найти расстояние от точки $$D$$ до плоскости $$ACC_1$$.

В плоскости $$ACC_1$$ проведём перпендикуляр из точки $$D$$ к прямой $$AC_1$$. Пусть $$H$$ — основание этого перпендикуляра. Тогда искомое расстояние равно $$DH$$.

Треугольник $$ADC_1$$ равнобедренный, так как $$AD=DC_1=a$$. Поэтому высота из вершины $$D$$ к основанию $$AC_1$$ является также медианой, значит $$H$$ — середина $$AC_1$$.

Тогда в прямоугольном треугольнике $$ADC_1$$:

$$DH=\sqrt{AD^2-\left(\frac{AC_1}{2}\right)^2}$$

Найдём $$AC_1$$:

$$AC_1=\sqrt{AC^2+CC_1^2}=\sqrt{(a\sqrt2)^2+a^2}=a\sqrt3$$

Следовательно,

$$DH=\sqrt{a^2-\left(\frac{a\sqrt3}{2}\right)^2} =\sqrt{a^2-\frac{3a^2}{4}} =\frac{a}{2}$$

б)

Найдём расстояние между прямыми $$AC_1$$ и $$CD_1$$.

Проведём через точку $$D_1$$ прямую, параллельную $$AC_1$$. Тогда расстояние между скрещивающимися прямыми $$AC_1$$ и $$CD_1$$ равно расстоянию от точки $$D_1$$ до прямой $$AC_1$$.

Рассмотрим плоскость $$ACD_1$$. В ней проведём перпендикуляр из точки $$D_1$$ к прямой $$AC_1$$ и обозначим его основание через $$H$$. Тогда искомое расстояние равно $$D_1H$$.

Треугольник $$AC_1D_1$$ равнобедренный, так как $$AD_1=C_1D_1=a$$. Поэтому высота $$D_1H$$ к основанию $$AC_1$$ делит его пополам, то есть $$H$$ — середина $$AC_1$$.

Тогда

$$D_1H=\sqrt{AD_1^2-\left(\frac{AC_1}{2}\right)^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a\sqrt3}{2}\right)^2} =\frac{a}{2}$$

Ответ: а) $$\frac{a}{2}$$; б) $$\frac{a}{2}$$.