Упр.192 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Пусть $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — куб со стороной $$a$$. Диагональ куба можно рассматривать как отрезок $$AC_1$$.

Угол между прямой и плоскостью равен углу между этой прямой и её ортогональной проекцией на данную плоскость. Проекция диагонали $$AC_1$$ на плоскость грани $$ABC D$$ — это диагональ $$AC$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1$$. В нём

$$CC_1=a,\qquad AC=a\sqrt{2}.$$

Тогда

$$\tg \angle(AC_1,\,ABC D)=\frac{CC_1}{AC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Ответ: $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$