Упр.192 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Угол между диагональю куба и плоскостью грани равен углу между этой диагональю и её ортогональной проекцией на данную грань.

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ со стороной $$a$$. Диагональ куба $$AC_1$$ проектируется на плоскость грани $$ABCD$$ в диагональ $$AC$$.

Тогда искомый угол равен $$\angle C_1AC$$, и

$$\tg \angle(AC_1,\,ABCD)=\tg \angle C_1AC=\frac{CC_1}{AC}.$$

Найдём длины отрезков:

$$CC_1=a,$$
$$AC=a\sqrt{2}.$$

Следовательно,

$$\tg \angle(AC_1,\,ABCD)=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Ответ

$$\frac{1}{\sqrt{2}}$$