Упр.191 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Докажите, что плоскости $$ABC_1$$ и $$A_1B_1D$$ перпендикулярны.

Подробный ответ

Рассмотрим грань куба $$B_1C_1CB.$$ Это квадрат, значит его диагонали взаимно перпендикулярны. Следовательно,

$$BC_1 \perp B_1C.$$

Кроме того, в кубе ребро $$A_1D_1$$ параллельно ребру $$BC,$$ а ребро $$A_1B_1$$ параллельно ребру $$C_1D_1,$$ поэтому прямая $$A_1B_1$$ лежит в плоскости $$A_1B_1D$$, а прямая $$BC_1$$ лежит в плоскости $$ABC_1.$$

Плоскости $$ABC_1$$ и $$A_1B_1D$$ пересекаются по прямой $$BC_1$$, а прямая $$B_1C$$, лежащая в плоскости $$A_1B_1D,$$ перпендикулярна этой линии пересечения. Значит, угол между плоскостями равен $$90^\circ$$, то есть

$$ABC_1 \perp A_1B_1D.$$

Ответ: $$ABC_1 \perp A_1B_1D$$.