Упр.191 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что плоскости ABC1 и A1B1D перпендикулярны.

Подробный ответ

Обозначим через $$B_1C_1$$ ребро куба, а через $$BB_1$$ и $$CC_1$$ — его боковые рёбра. Тогда плоскость $$B_1C_1C$$ является гранью куба.

По свойству куба имеем:

$$ABC_1 \perp B_1C_1C,$$

так как прямая $$AB$$ перпендикулярна плоскости $$B_1C_1C$$, а прямая $$BC_1$$ лежит в этой плоскости.

Аналогично,

$$A_1B_1D \perp B_1C_1C,$$

поскольку в плоскости $$A_1B_1D$$ лежит прямая $$A_1D$$, перпендикулярная плоскости $$B_1C_1C$$.

Рассмотрим квадрат $$BB_1C_1C$$, лежащий в плоскости $$B_1C_1C$$. Его диагонали перпендикулярны. Следовательно, стороны линейного угла между плоскостями $$ABC_1$$ и $$A_1B_1D$$ перпендикулярны.

Значит, плоскости $$ABC_1$$ и $$A_1B_1D$$ перпендикулярны.