Упр.190 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Найдите следующие двугранные углы: а) $$ABB_1C$$; б) $$ADD_1B$$; в) $$A_1BB_1K$$, где $$K$$ — середина ребра $$A_1B_1$$.

Так как в кубе все рёбра попарно перпендикулярны, то двугранные углы удобно находить по их линейным углам в плоскости основания $$ABCD$$, перпендикулярной ребру, вдоль которого рассматривается угол.

а) Для двугранного угла $$ABB_1C$$ линейным углом служит угол $$\angle ABC$$. В квадрате $$ABCD$$

$$\angle ABC=90^\circ.$$

Значит,

$$\angle ABB_1C=90^\circ.$$

б) Для двугранного угла $$ADD_1B$$ линейным углом служит угол $$\angle ADB$$. В квадрате $$ABCD$$ диагональ $$DB$$ делит прямой угол при вершине $$D$$ пополам, поэтому

$$\angle ADB=45^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle ADD_1B=45^\circ.$$

в) Рассмотрим двугранный угол $$ABB_1K$$. Проведём в плоскости $$A_1B_1C_1D_1$$ через точку $$K$$ прямую, параллельную $$A_1A$$; пусть она пересечёт прямую $$B_1K$$ в точке, через которую удобно провести линейный угол. Так как $$K$$ — середина ребра $$A_1D_1$$, то

$$A_1K=KD_1=\frac{a}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике с катетами $$A_1A=a$$ и $$A_1K=\frac{a}{2}$$ получаем

$$\tan \varphi=\frac{A_1K}{A_1A}=\frac{1}{2},$$

где $$\varphi$$ — линейный угол двугранного угла $$ABB_1K$$. Тогда

$$\varphi=\arctg\frac{1}{2}.$$

Значит,

$$\angle ABB_1K=\arctg\frac{1}{2}.$$

Ответ: $$\angle ABB_1C=90^\circ,\ \angle ADD_1B=45^\circ,\ \angle ABB_1K=\arctg\frac{1}{2}.$$