Упр.190 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан KyQABCDAiBlClD1. Найдите следующие двугранные углы: а) ABB1C; б) ADD1B; в) A1BB1K, где K — середина PeepaA1B1.

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ со стороной $$a$$. Во всех трёх случаях двугранные углы имеют линейные углы в плоскости основания $$ABCD$$, перпендикулярной к одной из граней куба.

а) Найдём двугранный угол $$ABB_1C$$. Его линейный угол — $$\angle ABC$$, так как $$AB \perp BB_1$$ и $$BC \subset (ABC)$$. В квадрате $$ABCD$$

$$\angle ABC=90^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle ABB_1C=90^\circ.$$

б) Найдём двугранный угол $$ADD_1B$$. Его линейный угол — $$\angle ADB$$. В квадрате $$ABCD$$ диагональ $$DB$$ делит прямой угол при вершине $$D$$ пополам, значит

$$\angle ADB=45^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle ADD_1B=45^\circ.$$

в) Найдём двугранный угол $$A_1BB_1K$$, где $$K$$ — середина ребра $$A_1D_1$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$A_1B_1K$$, лежащий в плоскости $$A_1B_1C_1$$. Так как $$A_1B_1 \parallel AB$$ и $$A_1K=\dfrac{1}{2}A_1D_1=\dfrac{a}{2}$$, а также $$A_1B_1=a$$, то

$$\tan \angle KB_1A_1=\frac{A_1K}{A_1B_1}=\frac{a/2}{a}=\frac{1}{2}.$$

Значит, линейный угол двугранного угла $$A_1BB_1K$$ равен $$\angle A_1B_1K$$, и потому

$$\angle A_1BB_1K=\arctan\frac{1}{2}.$$

Ответ

$$\angle ABB_1C=90^\circ,\quad \angle ADD_1B=45^\circ,\quad \angle A_1BB_1K=\arctan\frac{1}{2}.$$