Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.19 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности и гипотенузы делит гипотенузу на отрезки, равные $$5$$ и $$12$$. Найдите катеты треугольника.

Обозначим $$CF=x.$$ Тогда для отрезков гипотенузы получаем:

$$AC=x+5,\qquad BC=x+12.$$

Так как $$AB=5+12=17,$$ то по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$AB^2=AC^2+BC^2.$$

Подставим значения:

$$17^2=(x+5)^2+(x+12)^2,$$

$$289=x^2+10x+25+x^2+24x+144,$$

$$2x^2+34x-120=0,$$

$$x^2+17x-60=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=17^2+4\cdot 60=529,$$

$$x=\frac{-17\pm 23}{2}.$$

Положительный корень:

$$x=3.$$

Тогда

$$AC=x+5=8,\qquad BC=x+12=15.$$

Ответ: $$8$$ и $$15$$.