Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.19 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В правильной четырёхугольной пирамиде $$SABCD$$ все рёбра равны $$1$$. Найдите косинус угла между прямой $$AB$$ и плоскостью $$SAD$$.

Рассмотрим грань $$SAD$$. Так как пирамида правильная, то $$SA=SD=AD=1$$, значит треугольник $$SAD$$ равносторонний.

Пусть $$E$$ — середина ребра $$AD$$. Тогда $$SE$$ — высота треугольника $$SAD$$, поэтому

$$SE=\sqrt{SA^2-AE^2}=\sqrt{1^2-\left(\frac12\right)^2} =\sqrt{1-\frac14}=\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Теперь рассмотрим квадрат $$ABCD$$. Диагонали квадрата пересекаются в точке $$H$$, значит $$H$$ — середина диагонали $$BD$$. Прямая $$EH$$ лежит в плоскости $$SAD$$ и перпендикулярна $$AD$$, а также параллельна $$AB$$, поэтому угол между прямой $$AB$$ и плоскостью $$SAD$$ равен углу $$\angle SEH$$.

В квадрате сторона равна $$1$$, следовательно расстояние от середины стороны $$AD$$ до центра квадрата равно половине стороны:

$$EH=\frac12 AB=\frac12.$$

В прямоугольном треугольнике $$SEH$$ имеем

$$\cos \angle SEH=\frac{EH}{SE} =\frac{\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}} =\frac{1}{\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{3}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt3}{3}$$.