Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.19 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

• В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна $$18$$. Найдите её среднюю линию.

Обозначим основания равнобедренной трапеции через $$AD$$ и $$BC$$, а её диагонали — через $$AC$$ и $$BD$$. Так как трапеция равнобедренная, то $$AC=BD$$. По условию диагонали перпендикулярны, значит площадь трапеции можно выразить через диагонали:

$$S=\frac12 AC\cdot BD.$$

С другой стороны, площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту:

$$S=EF\cdot BH.$$

Так как $$AC=BD$$, получаем

$$EF\cdot BH=\frac12 AC^2.$$

В равнобедренной трапеции диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому в прямоугольных треугольниках с высотой $$BH$$ имеем

$$AC=\sqrt{AD^2+BH^2}, \qquad BD=\sqrt{BC^2+BH^2}.$$

Но удобнее воспользоваться тем, что при перпендикулярных диагоналях в равнобедренной трапеции средняя линия равна половине суммы оснований, а основания выражаются через диагонали. Тогда

$$EF=\frac{AC}{\sqrt2}.$$

Из формулы площади:

$$EF\cdot 18=\frac12 AC^2.$$

Подставим $$EF=\frac{AC}{\sqrt2}$$:

$$\frac{AC}{\sqrt2}\cdot 18=\frac12 AC^2.$$

Сократим на $$AC$$:

$$\frac{18}{\sqrt2}=\frac12 AC,$$

откуда

$$AC=18\sqrt2.$$

Тогда

$$EF=\frac{AC}{\sqrt2}=\frac{18\sqrt2}{\sqrt2}=18.$$

Ответ: $$18$$.