Упр.186 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что существует и притом только одна прямая, пересекающая две данные скрещивающиеся прямые $$a$$ и $$b$$ и перпендикулярная к каждой из них.

Рассмотрим плоскость $$\alpha,$$ проходящую через прямую $$a$$ и параллельную прямой $$b.$$

Через прямую $$a$$ проведём плоскость $$\beta,$$ перпендикулярную плоскости $$\alpha,$$ а через прямую $$b$$ — плоскость $$\gamma,$$ также перпендикулярную плоскости $$\alpha.$$ Тогда линия пересечения плоскостей $$\beta$$ и $$\gamma$$ существует; обозначим её через $$p.$$

Докажем, что прямая $$p$$ пересекает обе данные прямые и перпендикулярна каждой из них. Так как $$p \subset \beta$$ и $$\beta \perp \alpha,$$ то прямая $$p$$ перпендикулярна плоскости $$\alpha$$. Аналогично, $$p \subset \gamma$$ и $$\gamma \perp \alpha,$$ значит, $$p \perp \alpha.$$ Следовательно, $$p$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$\alpha,$$ в частности, прямой $$a.$$ Поскольку $$b \parallel \alpha,$$ а $$p \perp \alpha,$$ то $$p \perp b.$$

Остаётся доказать единственность. Предположим, что существуют две прямые $$A_1B_1$$ и $$A_2B_2,$$ пересекающие прямые $$a$$ и $$b$$ и перпендикулярные к каждой из них. Тогда обе эти прямые перпендикулярны плоскости $$\alpha,$$ а значит, параллельны друг другу. Но две параллельные прямые, пересекающие одну и ту же прямую $$a$$ и другую прямую $$b,$$ лежат в одной плоскости, что противоречит тому, что $$a$$ и $$b$$ — скрещивающиеся прямые.

Следовательно, такая прямая существует и притом только одна.