Упр.186 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что существует, и притом только одна, прямая, пересекающая две данные скрещивающиеся прямые а и b и перпендикулярная к каждой из них. Решение Рассмотрим плоскость а, проходящую через прямую а и параллельную прямой b. Через прямые а и b проведем плоскости p и у так, чтобы p J. а и у _L а (задача 185). Докажите самостоятельно, что прямая p, по которой пересекаются плоскости p и у, искомая. Докажем, что p — единственная прямая, удовлетворяющая условию задачи. Предположим, что существуют две прямые A1B1 и A2B2, пересекающие данные скрещивающиеся прямые а и b и перпендикулярные к каждой из них (рис. 68). Прямые A1B1 и A2B2 перпендикулярны к плоскости а (объясните почему), поэтому они параллельны. Отсюда следует, что скрещивающиеся прямые а и b лежат в одной плоскости, что противоречит определению скрещивающихся прямых.

Подробный ответ

Проведём плоскость $$\alpha$$ через прямую $$a$$ так, чтобы $$\alpha \parallel b$$. Тогда прямая $$b$$ не пересекает плоскость $$\alpha$$.

Через прямую $$a$$ проведём плоскость $$\beta$$, перпендикулярную плоскости $$\alpha$$. Через прямую $$b$$ проведём плоскость $$\gamma$$, перпендикулярную плоскости $$\alpha$$.

Плоскости $$\beta$$ и $$\gamma$$ обе перпендикулярны плоскости $$\alpha$$, значит, они параллельны между собой. Следовательно, их линия пересечения $$p=\beta \cap \gamma$$ существует и единственна.

Докажем, что прямая $$p$$ пересекает обе данные прямые и перпендикулярна каждой из них.

Так как $$p \subset \beta$$ и $$\beta \perp \alpha$$, а прямая $$a \subset \alpha$$, то прямая $$p$$, лежащая в плоскости $$\beta$$ и проходящая через точку пересечения плоскостей $$\beta$$ и $$\alpha$$, перпендикулярна прямой $$a$$. Аналогично, поскольку $$p \subset \gamma$$ и $$\gamma \perp \alpha$$, получаем $$p \perp b$$.

Итак, существует прямая, пересекающая скрещивающиеся прямые $$a$$ и $$b$$ и перпендикулярная к каждой из них.

Докажем единственность. Предположим, что существуют две такие прямые $$A_1B_1$$ и $$A_2B_2$$. Тогда обе они перпендикулярны плоскости $$\alpha$$, так как перпендикулярны двум пересекающимся прямым этой плоскости: $$a$$ и прямой, параллельной $$b$$.

Следовательно, $$A_1B_1 \parallel A_2B_2$$. Но тогда через параллельные прямые $$A_1B_1$$ и $$A_2B_2$$ можно провести плоскость, в которой окажутся и прямые $$a$$ и $$b$$, что невозможно, так как $$a$$ и $$b$$ — скрещивающиеся.

Значит, такая прямая единственна.