Упр.184 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Общая сторона AB треугольников ABC и ABD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите CD, если треугольники: а) равносторонние; б) прямоугольные равнобедренные с гипотенузой AB.

Подробный ответ

Обозначим через $$M$$ середину отрезка $$AB$$. Тогда в обоих случаях треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$ равны, значит соответствующие медианы к равным сторонам тоже равны:

$$CM=DM.$$

Так как плоскости треугольников $$ABC$$ и $$ABD$$ взаимно перпендикулярны, а прямая $$AB$$ — их линия пересечения, то прямая, лежащая в плоскости $$ABC$$ и перпендикулярная $$AB$$, перпендикулярна плоскости $$ABD$$. Следовательно, $$CM \perp DM$$, и треугольник $$CMD$$ прямоугольный.

Тогда по теореме Пифагора:

$$CD^2=CM^2+DM^2.$$

Так как $$CM=DM$$, получаем:

$$CD=CM\sqrt{2}.$$

Остаётся найти $$CM$$ для каждого случая.

а) Треугольники равносторонние.

В равностороннем треугольнике медиана равна высоте:

$$CM=\frac{\sqrt{3}}{2}\,AB=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 10=5\sqrt{3}.$$

Тогда

$$CD=5\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=5\sqrt{6}.$$

б) Треугольники прямоугольные равнобедренные с гипотенузой $$AB$$.

В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы: