Упр.183 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$a$$ и перпендикулярны к плоскости $$\gamma$$. Докажите, что прямая $$a$$ перпендикулярна к плоскости $$\gamma$$.

Возьмём точку $$O=a\cap \gamma.$$

Так как $$\alpha \perp \gamma,$$ то любая прямая плоскости $$\alpha,$$ проходящая через точку $$O$$ и перпендикулярная прямой $$a,$$ перпендикулярна плоскости $$\gamma.$$ Аналогично, так как $$\beta \perp \gamma,$$ то любая прямая плоскости $$\beta,$$ проходящая через точку $$O$$ и перпендикулярная прямой $$a,$$ перпендикулярна плоскости $$\gamma.$$

Проведём в плоскости $$\alpha$$ через точку $$O$$ прямую $$m$$, перпендикулярную прямой $$a,$$ а в плоскости $$\beta$$ — прямую $$n$$, также перпендикулярную $$a.$$ Тогда

$$m\perp a,\qquad n\perp a,$$

и, следовательно,

$$m\perp \gamma,\qquad n\perp \gamma.$$

Через точку $$O$$ к плоскости $$\gamma$$ можно провести только одну прямую, перпендикулярную этой плоскости. Значит, $$m$$ и $$n$$ совпадают, то есть $$m=n.$$

Но тогда эта общая прямая лежит и в плоскости $$\alpha,$$ и в плоскости $$\beta,$$ а значит, является их линией пересечения. Следовательно, линия пересечения плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$ перпендикулярна плоскости $$\gamma.$$

Ответ: $$a\perp \gamma.$$