Упр.183 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Плоскости а и P пересекаются по прямой а и перпендикулярны к плоскости у. Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости у.

Подробный ответ

Возьмём точку $$O$$ на прямой $$a$$. Тогда $$O \in \alpha$$ и $$O \in \beta$$, поскольку $$a=\alpha \cap \beta$$.

Проведём через точку $$O$$ прямую $$m$$ в плоскости $$\alpha$$ так, чтобы $$m \perp \gamma$$. Аналогично проведём через точку $$O$$ прямую $$n$$ в плоскости $$\beta$$ так, чтобы $$n \perp \gamma$$.

Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ перпендикулярны плоскости $$\gamma$$, то прямые $$m$$ и $$n$$ перпендикулярны плоскости $$\gamma$$. Следовательно, обе они перпендикулярны любой прямой, лежащей в плоскости $$\gamma$$ и проходящей через точку $$O$$.

В частности, прямая $$a$$, лежащая в плоскости $$\alpha$$ и проходящая через $$O$$, перпендикулярна плоскости $$\gamma$$.

Итак, $$a \perp \gamma$$.