Упр.182 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой $$a$$. Из точки $$M$$ проведены перпендикуляры $$MA$$ и $$MB$$ к этим плоскостям. Прямая $$a$$ пересекает плоскость $$AMB$$ в точке $$C$$.
а) Докажите, что четырёхугольник $$ACBM$$ является прямоугольником.
б) Найдите расстояние от точки $$M$$ до прямой $$a$$, если $$AM=m$$, $$BM=n$$.
Так как $$MA \perp \alpha$$ и прямая $$AC$$ лежит в плоскости $$\alpha$$, то $$MA \perp AC$$. Аналогично, поскольку $$MB \perp \beta$$ и $$BC$$ лежит в плоскости $$\beta$$, получаем $$MB \perp BC$$.
Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ взаимно перпендикулярны, а их линия пересечения — прямая $$a$$. Прямая $$AC$$ лежит в плоскости $$\alpha$$ и перпендикулярна линии пересечения $$a$$, значит, она параллельна плоскости $$\beta$$. Тогда в плоскости $$\beta$$ через точку $$B$$ можно провести прямую $$BC$$, параллельную $$AC$$. Следовательно, $$AC \parallel BM$$ и $$BC \parallel AM$$, то есть четырехугольник $$ACBM$$ — параллелограмм.
Кроме того, $$\angle MAC=90^\circ$$ и $$\angle MBC=90^\circ$$, значит, параллелограмм $$ACBM$$ имеет прямой угол. Следовательно, $$ACBM$$ — прямоугольник.
Теперь найдем расстояние от точки $$M$$ до прямой $$a$$. В прямоугольнике $$ACBM$$ диагональ $$CM$$ по теореме Пифагора равна
$$CM=\sqrt{AM^2+BM^2}=\sqrt{m^2+n^2}.$$
Ответ: $$CM=\sqrt{m^2+n^2}$$.
