Упр.181 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$a$$. Из точки $$M$$ проведены перпендикуляры $$MA$$ и $$MB$$ соответственно к плоскостям $$\alpha$$ и $$\beta$$. Прямая $$a$$ пересекает плоскость $$AMB$$ в точке $$C$$. Докажите, что $$MC \perp a$$.

Так как $$MA \perp \alpha$$ и $$MB \perp \beta,$$ а плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$a,$$ то прямая $$a$$ перпендикулярна и $$MA,$$ и $$MB$$, следовательно, $$a \perp (AMB).$$

Точка $$C$$ лежит на прямой $$a$$ и в плоскости $$AMB$$, значит, $$C \in (AMB).$$ Тогда прямая $$MC$$ принадлежит плоскости $$AMB$$.

Поскольку $$a \perp (AMB),$$ то любая прямая, лежащая в плоскости $$AMB$$, перпендикулярна прямой $$a$$. В частности, $$MC \perp a.$$

Ответ: $$MC \perp a$$.