Упр.181 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Плоскости ос и P пересекаются по прямой а. Из точки M проведены перпендикуляры MA и MB соответственно к плоскостям а и р. Прямая а пересекает плоскость AMB в точке С. Докажите, что MC L а.

Подробный ответ

Так как $$MA \perp \alpha$$ и $$MB \perp \beta,$$ а плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$a,$$ то прямая $$a$$ перпендикулярна и $$MA,$$ и $$MB$$, следовательно, $$a \perp (AMB).$$

Точка $$C$$ лежит на прямой $$a$$ и одновременно принадлежит плоскости $$AMB$$, значит, $$C \in (AMB).$$

В плоскости $$AMB$$ проведём через точку $$C$$ прямую, параллельную $$AB$$. Обозначим её через $$CK.$$ Тогда $$CK \parallel AB.$$

Поскольку $$AB \subset \beta$$, а $$MB \perp \beta,$$ то $$MB \perp AB.$$ Кроме того, $$MB \perp a,$$ а значит, $$MB$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$AMB$$, проходящей через точку $$C$$. В частности, $$MB \perp CK.$$

Следовательно, прямая $$MC$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$AB$$ и $$CK$$, лежащим в плоскости $$AMB$$. Значит,

$$MC \perp (AMB).$$

Так как $$a \subset (AMB),$$ то из $$MC \perp (AMB)$$ следует, что

$$MC \perp a.$$