Упр.180 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.

Подробный ответ

Докажем утверждение от противного.

Пусть $$n \not\parallel \alpha.$$ Тогда прямая $$n$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в некоторой точке $$A$$. Так как $$n \perp \beta$$, а $$\alpha \perp \beta$$, то любая прямая плоскости $$\alpha$$, проходящая через точку $$A$$ и перпендикулярная линии пересечения плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$, будет перпендикулярна прямой $$n$$.

Проведём в плоскости $$\alpha$$ через точку $$A$$ прямую $$l$$, перпендикулярную линии пересечения плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$. Тогда $$l \perp n$$. Но в плоскости $$\alpha$$ через точку $$A$$ можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой $$l$$, следовательно, прямая $$n$$ должна лежать в плоскости $$\alpha$$. Это противоречит условию.

Значит, наше предположение неверно, и прямая $$n$$ не пересекает плоскость $$\alpha$$. Следовательно, $$n \parallel \alpha$$.