Подготовка к ЕГЭ Задание 8 Упр.18 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, и каждое из них равно 3. Найдите объём пирамиды.

Обозначим вершину пирамиды через $$D$$, а основание — треугольник $$ABC$$. По условию боковые рёбра попарно перпендикулярны и равны $$3$$, значит

$$AD \perp AB,\quad AD \perp AC,\quad AB \perp AC,\quad AD=AB=AC=3.$$

Тогда треугольник $$ABC$$ прямоугольный, и его площадь равна

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3=\frac{9}{2}.$$

Высота пирамиды равна $$AD$$, так как ребро $$AD$$ перпендикулярно плоскости основания. Поэтому объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot AD=\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{2}\cdot 3=\frac{9}{2}.$$

Ответ

$$\frac{9}{2}$$