Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.18 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Три окружности разных радиусов попарно касаются друг друга извне. Отрезки, соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник. Найдите радиус меньшей окружности, если радиусы двух других равны $$6$$ и $$4$$.

Обозначим радиус меньшей окружности через $$x$$. Тогда расстояния между центрами касающихся окружностей равны суммам их радиусов:

$$AB=6+4=10,$$

$$AC=4+x,$$

$$BC=6+x.$$

Так как отрезки, соединяющие центры, образуют прямоугольный треугольник, то по теореме Пифагора:

$$AB^2=AC^2+BC^2.$$

Подставим значения:

$$10^2=(4+x)^2+(6+x)^2,$$

$$100=x^2+8x+16+x^2+12x+36,$$

$$2x^2+20x+52=100,$$

$$x^2+10x-24=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=10^2-4\cdot 1\cdot(-24)=100+96=196,$$

$$x=\frac{-10\pm 14}{2}.$$

Положительный корень:

$$x=\frac{4}{2}=2.$$

Ответ: $$2$$.