Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.18 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В пирамиде \(DABC\) известны длины рёбер: $$AB=AC=DB=DC=10,\quad BC=DA=12.$$ Найдите расстояние между прямыми $$DA$$ и $$BC$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$AB=AC$$, то он равнобедренный. Пусть $$E$$ — середина стороны $$BC$$. Тогда $$AE \perp BC$$ и

$$CE=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6.$$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$AEC$$:

$$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8.$$

Аналогично, в равнобедренном треугольнике $$DAB$$ имеем $$DA=DB$$, значит, если $$F$$ — середина стороны $$AB$$, то $$DF \perp AB$$ и

$$AF=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Но для нахождения расстояния между прямыми $$DA$$ и $$BC$$ удобно рассмотреть треугольник $$ADE$$. Так как $$AD=12$$ и $$AE=8$$, а точка $$E$$ лежит на прямой $$BC$$, то искомое расстояние равно перпендикуляру между прямыми $$DA$$ и $$BC$$, то есть отрезку $$EF$$, где $$F$$ — основание перпендикуляра из точки $$E$$ на $$DA$$.

В равнобедренном треугольнике $$ADE$$ имеем $$AD=DE$$, значит высота $$EF$$ к основанию $$AD$$ является также медианой, поэтому

$$AF=\frac{AD}{2}=\frac{12}{2}=6.$$

Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$AEF$$:

$$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{64-36}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}.$$

Ответ: $$2\sqrt{7}$$.