Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.18 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Три окружности разных радиусов попарно касаются друг друга извне. Отрезки, соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник. Найдите радиус меньшей окружности, если радиусы двух других равны 6 и 4.
Обозначим радиус меньшей окружности через $$x$$. Тогда расстояния между центрами касающихся окружностей равны суммам их радиусов:
$$AB=6+4=10,$$
$$AC=4+x,$$
$$BC=6+x.$$
Так как отрезки, соединяющие центры, образуют прямоугольный треугольник, то в $$\triangle ABC$$ угол $$C$$ прямой. По теореме Пифагора:
$$AB^2=AC^2+BC^2,$$
$$10^2=(4+x)^2+(6+x)^2.$$
Раскроем скобки:
$$100=x^2+8x+16+x^2+12x+36,$$
$$2x^2+20x+52=100,$$
$$2x^2+20x-48=0,$$
$$x^2+10x-24=0.$$
Найдём корни уравнения:
$$D=10^2-4\cdot 1\cdot(-24)=100+96=196,$$
$$x=\frac{-10\pm \sqrt{196}}{2}=\frac{-10\pm 14}{2}.$$
Получаем $$x=2$$ или $$x=-12$$. Отрицательное значение не подходит, значит радиус меньшей окружности равен $$2$$.
Ответ
$$2$$