Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.18 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Основания трапеции равны $$4$$ и $$10$$. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Обозначим точки пересечения средней линии с боковыми сторонами трапеции через $$E$$ и $$F$$, а точку пересечения диагонали $$AC$$ со средней линией — через $$M$$.

Так как $$E$$ и $$F$$ — середины боковых сторон, то $$EF$$ — средняя линия трапеции, значит

$$EF=\frac{AD+BC}{2}=\frac{10+4}{2}=7.$$

Рассмотрим треугольник $$ACD$$. Точка $$F$$ — середина стороны $$CD$$, а прямая через середину стороны треугольника, параллельная основанию $$AD$$, пересекает диагональ $$AC$$ в её середине. Следовательно, $$M$$ — середина $$AC$$, и отрезок $$MF$$ является средней линией треугольника $$ACD$$:

$$MF=\frac{AD}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Тогда второй отрезок средней линии трапеции равен

$$EM=EF-MF=7-5=2.$$

Больший из полученных отрезков равен $$5$$.

Ответ: $$5$$.