Упр.18 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точка C лежит на отрезкеАВ. Через точкуА проведена плоскость, а через точки B и C — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках B1 и C1. Найдите длину отрезка CC1, если: а) точка C — середина отрезка AB и BB1 = 7 см; б) AC : CB = 3 : 2 и BB1 = 20 см.

Подробный ответ

Так как $$CC_1 \parallel BB_1,$$ то прямые $$CC_1$$ и $$BB_1$$ лежат в одной плоскости $$\beta.$$ Поскольку точки $$B$$ и $$C$$ лежат на прямой $$AB,$$ то прямая $$AB$$ также лежит в плоскости $$\beta.$$

Рассмотрим плоскость $$\beta.$$ В ней треугольники $$\triangle ACC_1$$ и $$\triangle ABB_1$$ подобны: у них равны углы при вершине $$A$$, а также $$\angle ACC_1 = \angle ABB_1$$ как углы между соответственно параллельными прямыми $$CC_1 \parallel BB_1.$$

Следовательно,

$$\frac{CC_1}{BB_1}=\frac{AC}{AB}.$$

а) Если $$C$$ — середина отрезка $$AB,$$ то $$AC=CB,$$ значит

$$AB=AC+CB=2AC,$$

и потому

$$\frac{CC_1}{7}=\frac{AC}{2AC}=\frac{1}{2}.$$

Отсюда

$$CC_1=7\cdot \frac{1}{2}=3{,}5\text{ см}.$$

б) Если $$AC:CB=3:2,$$ то пусть $$AC=3k,$$ $$CB=2k.$$ Тогда

$$AB=AC+CB=3k+2k=5k.$$

По формуле подобия получаем

$$\frac{CC_1}{20}=\frac{AC}{AB}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}.$$