Упр.179 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ взаимно перпендикулярны. Через некоторую точку плоскости $$\alpha$$ проведена прямая, перпендикулярная к плоскости $$\beta$$. Докажите, что эта прямая лежит в плоскости $$\alpha$$.

Пусть прямая $$AB$$ не принадлежит плоскости $$\alpha$$. Докажем, что это невозможно.

Так как $$\alpha \perp \beta$$, то через точку $$A \in \alpha$$ можно провести в плоскости $$\alpha$$ прямую $$AC$$, перпендикулярную линии пересечения плоскостей $$l=\alpha \cap \beta$$. Тогда по свойству взаимно перпендикулярных плоскостей прямая $$AC$$ перпендикулярна плоскости $$\beta$$.

Но по условию $$AB \perp \beta$$. Значит, через точку $$A$$ к плоскости $$\beta$$ проведены две различные перпендикулярные прямые $$AB$$ и $$AC$$. Это невозможно, так как через точку, не лежащую в плоскости, к данной плоскости можно провести только одну перпендикулярную прямую.

Следовательно, предположение неверно, и прямая $$AB$$ лежит в плоскости $$\alpha$$.

Ответ: $$AB \subset \alpha$$.