Упр.178 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой $$c$$. Докажите, что любая прямая плоскости $$\alpha$$, перпендикулярная к прямой $$c$$, перпендикулярна к плоскости $$\beta$$.

Пусть в плоскости $$\alpha$$ проведена прямая $$AC$$ так, что $$AC \perp c$$, где $$C \in c$$. Докажем, что $$AC \perp \beta$$.

В плоскости $$\beta$$ через точку $$C$$ проведём прямую $$CB$$, перпендикулярную прямой $$c$$. Тогда $$AC \perp c$$ и $$CB \perp c$$, значит, угол $$\angle ACB$$ является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями $$\alpha$$ и $$\beta$$.

По условию $$\alpha \perp \beta$$, следовательно, этот линейный угол прямой, то есть $$\angle ACB = 90^\circ$$. Значит, $$AC \perp CB$$.

Итак, прямая $$AC$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$c$$ и $$CB$$, лежащим в плоскости $$\beta$$. Следовательно, $$AC \perp \beta$$.

Ответ: любая прямая плоскости $$\alpha$$, перпендикулярная прямой $$c$$, перпендикулярна плоскости $$\beta$$.