Упр.178 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Плоскости а и P взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости а, перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости р. Решение Проведем в плоскости а произвольную прямую AC, перпендикулярную к прямой с, C e с. Докажем, что CA 1 р. B плоскости P через точку C проведем прямую CB, перпендикулярную к прямой с. Так как CA 1 с и CB 1 с, то ZACB — линейный угол одного из двугранных углов, образованных плоскостями а и р. По условию задачи а 1 p, поэтому ZACB — прямой, т. e. CA 1 CB. Таким образом, прямая CA перпендикулярна к двум пересекающимся прямым с и CB плоскости p, поэтому CA ± р.

Подробный ответ

Пусть в плоскости $$\alpha$$ проведена прямая $$AC$$, причём $$AC \perp c$$, где $$C \in c$$. Докажем, что $$AC \perp \beta$$.

В плоскости $$\beta$$ через точку $$C$$ проведём прямую $$CB$$ так, что $$CB \perp c$$.

Так как $$AC \perp c$$ и $$CB \perp c$$, то угол $$\angle ACB$$ является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями $$\alpha$$ и $$\beta$$. По условию $$\alpha \perp \beta$$, значит, этот линейный угол прямой. Следовательно,

$$\angle ACB = 90^\circ,$$

то есть $$AC \perp CB$$.

Итак, прямая $$AC$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$c$$ и $$CB$$, лежащим в плоскости $$\beta$$. Значит, $$AC \perp \beta$$.