Упр.177 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Подробный ответ

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$l$$, а плоскость $$\gamma$$ перпендикулярна прямой $$l$$.

Возьмём в плоскости $$\alpha$$ любую прямую $$a$$, проходящую через точку пересечения с $$l$$ и перпендикулярную $$l$$. Тогда $$a \perp l$$ и $$a \subset \alpha$$. По теореме о прямой, перпендикулярной к плоскости, из условия $$l \perp \gamma$$ следует, что любая прямая плоскости $$\gamma$$, перпендикулярная $$l$$, перпендикулярна плоскости $$\alpha$$. Значит, $$\gamma \perp \alpha$$.

Аналогично, если взять в плоскости $$\beta$$ прямую $$b$$, перпендикулярную $$l$$, то из $$l \perp \gamma$$ получаем $$b \perp \gamma$$, следовательно, $$\gamma \perp \beta$$.

Таким образом, плоскость, перпендикулярная прямой пересечения двух плоскостей, перпендикулярна каждой из этих плоскостей.