Упр.176 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Через сторону $$AD$$ ромба $$ABCD$$ проведена плоскость $$ADM$$ так, что двугранный угол $$BADM$$ равен $$60^\circ$$. Найдите сторону ромба, если $$\angle BAD=45^\circ$$ и расстояние от точки $$B$$ до плоскости $$ADM$$ равно $$4\sqrt{3}$$.
Пусть из точки $$B$$ опущен перпендикуляр $$BH$$ на прямую $$AD$$, а в плоскости $$ADM$$ через точку $$H$$ проведён перпендикуляр $$HE$$ к прямой $$AD$$. Тогда плоскость $$BHE$$ перпендикулярна прямой $$AD$$, а угол между плоскостями $$ABD$$ и $$ADM$$ равен $$\angle BHE=60^\circ$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BHE$$. Расстояние от точки $$B$$ до плоскости $$ADM$$ равно перпендикуляру $$BF$$ к этой плоскости, причём $$BF \perp EH$$. Поэтому в прямоугольном треугольнике $$BHF$$
$$\sin 60^\circ=\frac{BF}{BH}.$$
Отсюда
$$BH=\frac{BF}{\sin 60^\circ}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2}=8.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. Так как $$\angle BAD=45^\circ$$ и $$BH\perp AD$$, то $$\angle BAH=45^\circ$$. Следовательно,
$$\sin 45^\circ=\frac{BH}{AB}.$$
Тогда
$$AB=\frac{BH}{\sin 45^\circ}=\frac{8}{\sqrt{2}/2}=8\sqrt{2}.$$
Ответ: $$8\sqrt{2}$$.
