Упр.176 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BADM равен 60°. Найдите сторону ромба, если Z BAD = 45° и расстояние от точки B до плоскости ADM равно 4V3.

Пусть из точки $$B$$ опущен перпендикуляр $$BH$$ на прямую $$AD$$, а из точки $$H$$ в плоскости $$ADM$$ проведён перпендикуляр $$HE$$ к прямой $$AD$$. Тогда $$BH \perp AD$$ и $$HE \perp AD$$.

Проведём через точку $$B$$ прямую $$BF \perp HE$$, где $$F \in HE$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$BF \perp AD$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BFH$$. Линейный угол двугранного угла $$BADM$$ равен $$60^\circ$$, значит

$$\sin 60^\circ=\frac{BF}{BH}.$$

Отсюда

$$BH=\frac{BF}{\sin 60^\circ}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$BHA$$. Так как $$\angle BAD=45^\circ$$, то

$$\sin 45^\circ=\frac{BH}{BA}.$$

Следовательно,

$$BA=\frac{BH}{\sin 45^\circ}=\frac{BF}{\sin 60^\circ \cdot \sin 45^\circ}.$$

По условию расстояние от точки $$B$$ до плоскости $$ADM$$ равно $$4\sqrt{3}$$, то есть $$BF=4\sqrt{3}$$. Тогда

$$ BA=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} =\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6}}{4}} =8\sqrt{2}. $$

Ответ

$$AB=8\sqrt{2}$$