Упр.175 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если все рёбра тетраэдра равны, то все его двугранные углы также равны. Найдите эти углы.

Пусть все рёбра тетраэдра $$ABCD$$ равны $$a$$. Докажем, что все его двугранные углы равны, и найдём их величину.

Рассмотрим двугранный угол при ребре $$AC$$. Построим в грани $$ABC$$ медиану $$BM$$ к стороне $$AC$$, а в грани $$ADC$$ — медиану $$DM$$ к стороне $$AC$$. Так как $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ADC$$ равносторонние, то медианы $$BM$$ и $$DM$$ являются также высотами:

$$BM\perp AC,\qquad DM\perp AC.$$

Следовательно, угол $$\angle BMD$$ является линейным углом двугранного угла при ребре $$AC$$.

Найдём его косинус. В равностороннем треугольнике $$ABC$$

$$BM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Аналогично,

$$DM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Кроме того, $$BD=a$$, так как все рёбра тетраэдра равны. Тогда по теореме косинусов в треугольнике $$BMD$$:

$$BD^2=BM^2+DM^2-2\cdot BM\cdot DM\cdot \cos\angle BMD.$$

Подставим значения:

$$a^2=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2-2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \cos\angle BMD.$$

Отсюда

$$a^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{2}\cos\angle BMD,$$

$$\frac{3a^2}{2}\cos\angle BMD=\frac{a^2}{2},$$

$$\cos\angle BMD=\frac{1}{3}.$$

Значит,

$$\angle BMD=\arccos\frac{1}{3}.$$

Так как все грани тетраэдра равны, то все его двугранные углы равны между собой и каждый из них равен найденному углу.

Ответ: $$\arccos\frac{1}{3}$$.