Упр.174 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите двугранный угол $$ABCD$$ тетраэдра $$ABCD$$, если углы $$DAB$$, $$DAC$$ и $$ACB$$ прямые, $$AC=CB=5$$, $$DB=5\sqrt{5}$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники и последовательно найдём нужные длины по теореме Пифагора.

$$DA^2+AB^2=DB^2=125,$$
$$DA^2+AC^2=DC^2,$$
$$BC^2+AC^2=AB^2.$$

Так как $$AC=CB=5,$$ то из треугольника $$ACB$$ получаем

$$AB^2=AC^2+CB^2=25+25=50,$$
то есть $$AB=5\sqrt{2}.$$

Из треугольника $$DAB$$:

$$DA^2=DB^2-AB^2=125-50=75,$$
значит,
$$DA=5\sqrt{3}.$$

Из треугольника $$DAC$$:

$$DC^2=DA^2+AC^2=75+25=100,$$
следовательно,
$$DC=10.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$DCB$$. Имеем

$$DC^2+CB^2=100+25=125=DB^2,$$
значит, $$\triangle DCB$$ прямоугольный, и $$DC\perp BC.$$

Так как $$AC\perp BC$$ по условию, то прямая $$BC$$ перпендикулярна плоскости $$ACD$$. Следовательно, двугранный угол $$ABCD$$ равен углу между прямыми $$AC$$ и $$CD$$, то есть $$\angle ACD.$$

В треугольнике $$ACD$$:

$$\cos \angle ACD=\frac{AC}{CD}=\frac{5}{10}=\frac12,$$
откуда
$$\angle ACD=60^\circ.$$

Следовательно, двугранный угол $$ABCD=60^\circ.$$

Ответ: $$60^\circ$$