Упр.173 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Ребро $$CD$$ тетраэдра $$ABCD$$ перпендикулярно к плоскости $$ABC$$, $$AB=BC-AC=6$$, $$BD=3\sqrt{7}$$. Найдите двугранные углы $$DACB$$, $$DABC$$, $$BDCA$$.

Подробный ответ

Так как $$CD \perp (ABC),$$ то прямая $$CD$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC,$$ проходящей через точку $$C.$$

1) Рассмотрим двугранный угол $$DACB.$$ Его линейный угол — это угол между прямыми $$AC$$ и $$CD.$$ Поскольку $$AC \perp CD,$$ получаем

$$\angle DACB=90^\circ.$$

2) Рассмотрим двугранный угол $$BDCA.$$ Его линейный угол — это угол между прямыми $$BC$$ и $$CD.$$ Так как $$BC \perp CD,$$ то

$$\angle BDCA=90^\circ.$$

3) Найдём двугранный угол $$DABC.$$ Проведём в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ медиану $$CM$$ к основанию $$AB.$$ Тогда $$CM \perp AB.$$

По теореме о трёх перпендикулярах из условия $$CD \perp (ABC)$$ следует, что $$DM \perp AB.$$ Значит, $$DM$$ — высота треугольника $$ABD$$, а так как $$AB=BC=AC=6,$$ то $$M$$ — середина $$AB$$ и

$$AM=MB=\frac{AB}{2}=3.$$

Найдём длины $$DM$$ и $$CM$$:

$$DM=\sqrt{BD^2-BM^2}=\sqrt{(3\sqrt7)^2-3^2}=\sqrt{63-9}=\sqrt{54}=3\sqrt6,$$

$$CM=\sqrt{AC^2-AM^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt3.$$

Линейный угол двугранного угла $$DABC$$ — это угол $$\angle DMC.$$ Тогда

$$\cos \angle DMC=\frac{CM}{DM}=\frac{3\sqrt3}{3\sqrt6}=\frac{1}{\sqrt2},$$

откуда

$$\angle DMC=45^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle DABC=45^\circ.$$