Упр.173 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости ABC, AB = BC-AC = 6, BD = 3yf7. Найдите двугранные углы DACB, DABC, BDCA.

Подробный ответ

Так как $$CD \perp (ABC),$$ то прямая $$CD$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC,$$ проходящей через точку $$C.$$

Следовательно, $$CD \perp AC$$ и $$CD \perp BC,$$ значит, $$\angle ACD = 90^\circ$$ и $$\angle BCD = 90^\circ.$$ Поэтому линейный угол двугранного угла $$DACB$$ равен $$90^\circ,$$ то есть

$$\angle DACB = 90^\circ.$$

Так как $$BC \perp CD$$ и $$BC \perp AC,$$ то $$BC \perp (ACD).$$ Отсюда линейный угол двугранного угла $$ADCB$$ равен $$\angle ACD.$$ Но в треугольнике $$ACD$$ угол при вершине $$C$$ равен $$60^\circ$$, так как $$AC=6$$ и $$CD \perp AC$$, а по условию $$AB=BC=AC=6,$$ значит, треугольник $$ABC$$ равносторонний и $$\angle ACB=60^\circ.$$ Следовательно,

$$\angle ADCB = 60^\circ.$$

Найдём двугранный угол $$DABC.$$ Проведём в равностороннем треугольнике $$ABC$$ медиану $$CM$$ к стороне $$AB.$$ Тогда $$CM \perp AB.$$

По теореме о трёх перпендикулярах из того, что $$CD \perp (ABC),$$ следует $$DM \perp AB.$$ Значит, прямая $$AB$$ перпендикулярна плоскости $$CMD,$$ а линейным углом двугранного угла $$DABC$$ является угол $$\angle CMD.$$

Вычислим длины:

$$ CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 6=3, $$
$$ DM=\sqrt{BD^2-BM^2}. $$

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то $$BM=\frac{1}{2}AB=3,$$ поэтому

$$ DM=\sqrt{(3\sqrt7)^2-3^2}=\sqrt{63-9}=\sqrt{54}=3\sqrt6. $$

Теперь в треугольнике $$CMD$$ по теореме Пифагора:

$$ DC=\sqrt{BD^2-BC^2}=\sqrt{(3\sqrt7)^2-6^2}=\sqrt{63-36}=\sqrt{27}=3\sqrt3. $$

Тогда

$$ \sin \angle CMD=\frac{DC}{DM}=\frac{3\sqrt3}{3\sqrt6}=\frac{1}{\sqrt2}. $$

Следовательно, $$\angle CMD=45^\circ,$$ а значит,

$$\angle DABC=45^\circ.$$