Упр.172 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Катет $$AC$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ лежит в плоскости $$\alpha$$, а угол между плоскостями $$\alpha$$ и $$ABC$$ равен $$60^\circ$$. Найдите расстояние от точки $$B$$ до плоскости $$\alpha$$, если $$AC=5\ \text{см}$$, $$AB=13\ \text{см}$$.

Опустим из точки $$B$$ перпендикуляр $$BB_1$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$BB_1$$ — искомое расстояние от точки $$B$$ до плоскости $$\alpha$$.

Так как угол между плоскостями $$\alpha$$ и $$ABC$$ равен $$60^\circ$$, а прямая $$AC$$ лежит в плоскости $$\alpha$$ и перпендикулярна линии их пересечения, то в плоскости $$ABC$$ угол между прямой $$BC$$ и плоскостью $$\alpha$$ равен $$\angle BCB_1=60^\circ$$.

Найдём сначала $$BC$$ из прямоугольного треугольника $$ABC$$:

$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$BCB_1$$. В нём

$$\sin \angle BCB_1=\frac{BB_1}{BC},$$

откуда

$$BB_1=BC\cdot \sin 60^\circ=12\cdot \frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\text{ см}.$$

Ответ: $$6\sqrt3\text{ см}$$.