Упр.172 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Катет AC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежит в плоскости а, а угол между плоскостями ос и ABC равен 60°. Найдите расстояние от точки B до плоскости а, если AC = 5 см, AB = 13 см.

Подробный ответ

Опустим из точки $$B$$ перпендикуляр $$BB_1$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$BB_1 \perp \alpha$$, а значит, расстояние от точки $$B$$ до плоскости $$\alpha$$ равно $$BB_1$$.

Так как прямая $$AC$$ лежит в плоскости $$\alpha$$, то угол между прямой $$BC$$ и плоскостью $$\alpha$$ равен углу между прямой $$BC$$ и её проекцией $$CB_1$$ на плоскость $$\alpha$$. Следовательно, $$\angle BCB_1 = 60^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle C = 90^\circ$$. По теореме Пифагора:

$$ BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ см}. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$BCB_1$$. В нём

$$ \sin \angle BCB_1=\frac{BB_1}{BC}. $$

Тогда

$$ BB_1=BC\cdot \sin 60^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{ см}. $$