Упр.171 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости $$\alpha$$, а катет наклонён к этой плоскости под углом $$30^\circ$$. Найдите угол между плоскостью $$\alpha$$ и плоскостью треугольника.
Пусть $$ABC$$ — данный прямоугольный равнобедренный треугольник, $$BC$$ лежит в плоскости $$\alpha$$, а $$\angle BCA=90^\circ$$. Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AH$$ на прямую $$BC$$. Тогда в равнобедренном прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем
$$AC=AB,\qquad \angle BAC=\angle CBA=45^\circ.$$
Так как угол между катетом $$AC$$ и плоскостью $$\alpha$$ равен $$30^\circ$$, то в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$AC$$ и перпендикуляром к плоскости получаем
$$CC_1=AC\sin 30^\circ=\frac{AC}{2}.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$AHC_1$$, где $$C_1$$ — основание перпендикуляра из точки $$C$$ на плоскость $$\alpha$$. Угол между плоскостью треугольника и плоскостью $$\alpha$$ равен углу между прямой $$AH$$, лежащей в плоскости треугольника и перпендикулярной линии пересечения плоскостей, и её проекцией на плоскость $$\alpha$$. Поэтому
$$\sin \varphi=\frac{CC_1}{CH}.$$
Так как $$CH$$ — высота в равнобедренном прямоугольном треугольнике $$ABC$$, то
$$CH=BC\sin 45^\circ=\frac{BC}{\sqrt{2}}.$$
Кроме того, $$AC=BC$$, значит
$$\sin \varphi=\frac{BC\sin 30^\circ}{BC\sin 45^\circ}=\frac{\frac12}{\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{1}{\sqrt2}.$$
Следовательно,
$$\varphi=45^\circ.$$
Ответ: $$45^\circ$$.
