Упр.171 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости а, a катет наклонен к этой плоскости под углом 30°. Найдите угол между плоскостью а и плоскостью треугольника.

Пусть $$ABC$$ — данный прямоугольный равнобедренный треугольник, $$\angle BCA=90^\circ$$, а плоскость треугольника пересекает плоскость $$\alpha$$ по прямой $$BC$$. Тогда угол между плоскостями равен углу между прямой, лежащей в плоскости треугольника и перпендикулярной линии их пересечения, и её проекцией на плоскость $$\alpha$$.

Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AH$$ на прямую $$BC$$. Так как $$\triangle ABC$$ — прямоугольный равнобедренный, то $$AC=BC$$, а высота $$AH$$ к гипотенузе является также медианой и биссектрисой. Значит,

$$\angle ACH=\angle BCA=45^\circ.$$

Пусть $$C_1$$ — проекция точки $$C$$ на плоскость $$\alpha$$, тогда $$CC_1\perp \alpha$$ и $$\angle(BC,\alpha)=30^\circ$$. В прямоугольном треугольнике $$BCC_1$$ получаем:

$$CC_1=BC\sin 30^\circ=\frac{BC}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CHC_1$$. В нём $$CH$$ — проекция наклонной $$CA$$ на прямую $$BC$$, поэтому искомый угол между плоскостями равен $$\angle HC C_1$$, и

$$\sin \varphi=\frac{CC_1}{CH}.$$

Так как в прямоугольном равнобедренном треугольнике $$CH=AC\sin 45^\circ=\frac{AC}{\sqrt{2}}$$, а $$AC=BC$$, то

$$ \sin \varphi=\frac{BC/2}{BC/\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}. $$

Следовательно,

$$\varphi=45^\circ.$$

Ответ

$$45^\circ$$