Упр.170 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из вершины $$B$$ треугольника $$ABC$$, сторона $$AC$$ которого лежит в плоскости $$\alpha$$, проведён к этой плоскости перпендикуляр $$BB_1$$. Найдите расстояния от точки $$B$$ до прямой $$AC$$ и до плоскости $$\alpha$$, если $$AB=2\text{ см}$$, $$\angle BAC=150^\circ$$ и двугранный угол $$BACB_1$$ равен $$45^\circ$$.

Опустим из точки $$B$$ перпендикуляр $$BH$$ на прямую $$AC$$. Тогда $$BH$$ — искомое расстояние от точки $$B$$ до прямой $$AC$$.

В треугольнике $$ABH$$ угол $$\angle AHB=90^\circ$$, а так как $$\angle BAC=150^\circ$$, то

$$\angle BAH=180^\circ-150^\circ=30^\circ.$$

Тогда

$$BH=AB\cdot \sin \angle BAH=2\cdot \sin 30^\circ=2\cdot \frac12=1\text{ см}.$$

Теперь найдём расстояние от точки $$B$$ до плоскости $$\alpha$$. Это отрезок $$BB_1$$, где $$BB_1\perp \alpha$$.

Рассмотрим двугранный угол $$BACB_1$$. Его линейный угол равен $$45^\circ$$, значит в плоскости, перпендикулярной ребру $$AC$$, угол между прямыми, перпендикулярными этому ребру, также равен $$45^\circ$$. Следовательно, в соответствующем прямоугольном треугольнике

$$BB_1=BH\cdot \sin 45^\circ=1\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}\text{ см}.$$

Ответ: $$1\text{ см},\ \frac{\sqrt2}{2}\text{ см}.$$