Упр.170 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Из вершины B треугольника ABC, сторона AC которого лежит в плоскости а, проведен к этой плоскости перпендикуляр BB1. Найдите расстояния от точки B до прямой AC и до плоскости а, если AB = 2 см, ZBAC = 150° и двугранный угол BACB1 равен 45°.

Подробный ответ

Опустим из точки $$B$$ перпендикуляр $$BH$$ на прямую $$AC$$. Тогда $$BH$$ — искомое расстояние от точки $$B$$ до прямой $$AC$$.

Рассмотрим треугольник $$ABH$$. Так как $$BH \perp AC$$ и точка $$H$$ лежит на $$AC$$, то $$\angle AHB=90^\circ$$. Кроме того,

$$\angle BAH=180^\circ-\angle BAC=180^\circ-150^\circ=30^\circ.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABH$$

$$BH=AB\cdot \sin \angle BAH=2\cdot \sin 30^\circ=2\cdot \frac12=1\text{ см}.$$

Теперь найдём расстояние от точки $$B$$ до плоскости $$\alpha$$. Оно равно длине перпендикуляра $$BB_1$$.

Рассмотрим плоскость $$BB_1H$$. По теореме о трёх перпендикулярах угол между прямой $$BH$$ и плоскостью $$\alpha$$ равен двугранному углу $$\angle BACB_1=45^\circ$$, значит

$$\angle BHB_1=45^\circ.$$

Треугольник $$BHB_1$$ прямоугольный, так как $$BB_1 \perp \alpha$$, а значит $$BB_1 \perp B_1H$$. Тогда

$$BB_1=BH\cdot \sin 45^\circ=1\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}\text{ см}.$$