Подготовка к ЕГЭ Задание 8 Упр.17 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объём призмы, основанием которой является правильный шестиугольник со стороной, равной 2, а боковое ребро равно 2v3 и наклонено к плоскости основания под углом в 30°.

Площадь основания призмы найдём как площадь правильного шестиугольника со стороной $$2$$.

В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне, значит

$$AO=OB=AB=2.$$

Тогда в равностороннем треугольнике $$AOB$$

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot OB\cdot \sin \angle AOB=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot \sin 60^\circ=\sqrt{3}.$$

Правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников, поэтому

$$S_{\text{осн}}=6S_{AOB}=6\sqrt{3}.$$

Найдём высоту призмы. Боковое ребро $$CC_1=2\sqrt{3}$$ наклонено к плоскости основания под углом $$30^\circ$$, значит высота равна перпендикулярной составляющей этого ребра:

$$h=CC_1\sin 30^\circ=2\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=\sqrt{3}.$$

Тогда объём призмы:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=6\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=18.$$

Ответ

$$18$$