Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.17 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Трапеция с основаниями $$14$$ и $$40$$ вписана в окружность радиуса $$25$$. Найдите высоту трапеции.

Обозначим середины оснований трапеции через $$M$$ и $$K$$ так, что $$CM=MD$$, $$AK=KB$$, а $$MK\perp AB$$.

Тогда в равнобедренной трапеции центр окружности лежит на оси симметрии, то есть на прямой $$MK$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CMO$$, где $$O$$ — центр окружности. Так как $$CD=14$$, то

$$CM=\frac{1}{2}CD=7.$$

При этом $$OC=R=25$$, значит

$$MO=\sqrt{OC^2-CM^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOK$$. Так как $$AB=40$$, то

$$AK=\frac{1}{2}AB=20.$$

И поскольку $$OA=R=25$$, получаем

$$OK=\sqrt{OA^2-AK^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{225}=15.$$

Высота трапеции равна расстоянию между основаниями, то есть

$$h=MK.$$

Так как точки $$M$$ и $$K$$ лежат по одну сторону от центра $$O$$, возможны два случая:

$$MK=MO+OK=24+15=39,$$

или

$$MK=MO-OK=24-15=9.$$

Ответ: $$39$$ или $$9$$.