Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.17 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Ребро $$AD$$ пирамиды $$DABC$$ перпендикулярно к плоскости $$ABC$$. Найдите расстояние от вершины $$A$$ до плоскости, проходящей через середины рёбер $$AB$$, $$AC$$ и $$AD$$, если $$AD=2\sqrt{5}$$, $$AB=AC=10$$, $$BC=4\sqrt{5}$$.

Пусть через середины рёбер $$AB$$, $$AC$$ и $$AD$$ проведена плоскость. Обозначим середины этих рёбер через $$F$$, $$E$$ и $$G$$ соответственно.

Тогда в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$EF$$ — средняя линия, значит $$EF \parallel BC$$ и $$EF=\dfrac{BC}{2}$$. Аналогично в треугольнике $$ABD$$ имеем $$FG \parallel BD$$, а в треугольнике $$ACD$$ — $$EG \parallel CD$$. Следовательно, треугольник $$EFG$$ подобен треугольнику $$BCD$$, а плоскость $$EFG$$ параллельна плоскости $$BCD$$.

Искомое расстояние от точки $$A$$ до плоскости $$EFG$$ равно половине расстояния от точки $$A$$ до плоскости $$BCD$$, так как плоскость $$EFG$$ проходит через середины рёбер, выходящих из вершины $$A$$.

Найдём высоту пирамиды $$DABC$$, опущенную из точки $$A$$ на плоскость $$BCD$$. Так как $$AD \perp ABC$$, то $$AD \perp BC$$ и $$AD \perp AC$$. В треугольнике $$ABC$$:

$$AB=AC=10,\quad BC=4\sqrt{5}$$
$$h_{ABC}=\sqrt{AB^2-\left(\frac{BC}{2}\right)^2} =\sqrt{10^2-(2\sqrt{5})^2} =\sqrt{100-20} =4\sqrt{5}$$

Тогда площадь треугольника $$ABC$$:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot BC\cdot h_{ABC} =\frac12\cdot 4\sqrt{5}\cdot 4\sqrt{5} =40$$

Объём пирамиды $$DABC$$ можно выразить двумя способами:

$$V=\frac13 S_{ABC}\cdot AD =\frac13\cdot 40\cdot 2\sqrt{5}$$

С другой стороны, если $$H$$ — расстояние от точки $$A$$ до плоскости $$BCD$$, то

$$V=\frac13 S_{BCD}\cdot H$$

Найдём $$S_{BCD}$$. В треугольнике $$DBC$$:

$$DB=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2+10^2}=\sqrt{20+100}=\sqrt{120}$$
$$DC=\sqrt{AD^2+AC^2}=\sqrt{20+100}=\sqrt{120}$$

Значит, $$\triangle DBC$$ равнобедренный, и его высота к основанию $$BC$$ равна

$$h_{DBC}=\sqrt{DB^2-\left(\frac{BC}{2}\right)^2} =\sqrt{120-20} =10$$

Тогда

$$S_{BCD}=\frac12\cdot BC\cdot h_{DBC} =\frac12\cdot 4\sqrt{5}\cdot 10 =20\sqrt{5}$$

Приравниваем выражения для объёма:

$$\frac13\cdot 40\cdot 2\sqrt{5} = \frac13\cdot 20\sqrt{5}\cdot H$$
$$80\sqrt{5}=20\sqrt{5}\,H$$
$$H=4$$

Так как плоскость через середины рёбер делит соответствующую высоту пополам, искомое расстояние равно

$$\frac{H}{2}=2$$

Ответ: $$2$$.