Подготовка к ЕГЭ Задание 8 Упр.17 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите объём призмы, основанием которой является правильный шестиугольник со стороной, равной $$2$$, а боковое ребро равно $$2\sqrt{3}$$ и наклонено к плоскости основания под углом $$30^\circ$$.

В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне, значит

$$AO=OB=AB=2.$$

Тогда в треугольнике $$AOB$$

$$S_{AOB}=\frac12\cdot AO\cdot OB\cdot \sin\angle AOB.$$

Так как $$\angle AOB=60^\circ,$$ получаем

$$S_{AOB}=\frac12\cdot 2\cdot 2\cdot \sin 60^\circ=2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3.$$

Основание призмы — правильный шестиугольник, поэтому его площадь равна

$$S_{\text{осн}}=6S_{AOB}=6\sqrt3.$$

Найдём высоту призмы. В прямоугольном треугольнике $$CHC_1$$

$$\sin 30^\circ=\frac{C_1H}{CC_1}.$$

Так как $$CC_1=2\sqrt3,$$ то

$$\frac12=\frac{C_1H}{2\sqrt3}, \qquad C_1H=\sqrt3.$$

Следовательно, высота призмы равна $$h=\sqrt3.$$

Тогда объём призмы

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=6\sqrt3\cdot \sqrt3=18.$$

Ответ: $$18$$.