Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.17 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.

Обозначим центр окружности через $$O$$. Проведём перпендикуляры из $$O$$ к основаниям трапеции: к большему основанию $$AB$$ — в точку $$K$$, к меньшему основанию $$CD$$ — в точку $$M$$. Тогда $$MK$$ — высота трапеции.

Так как трапеция вписана в окружность, она равнобедренная, поэтому точки $$K$$ и $$M$$ являются серединами оснований:

$$AK=KB,\qquad CM=MD.$$

Из условия $$AB=40$$, $$CD=14$$, $$R=25$$.

В прямоугольном треугольнике $$\triangle CMO$$:

$$CM=\frac{1}{2}CD=7,$$

$$MO=\sqrt{OC^2-CM^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24.$$

В прямоугольном треугольнике $$\triangle AOK$$:

$$AK=\frac{1}{2}AB=20,$$

$$OK=\sqrt{OA^2-AK^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{625-400}=\sqrt{225}=15.$$

Так как точки $$M$$ и $$K$$ лежат на одном перпендикуляре к основаниям, высота трапеции равна разности или сумме найденных отрезков:

$$MK=OM+OK=24+15=39,$$

или

$$MK=OM-OK=24-15=9.$$

Следовательно, возможны два значения высоты трапеции.

Ответ

$$9$$ или $$39$$.