Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.17 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно к плоскости АВС. Найдите расстояние от вершины А до плоскости, проходящей через середины рёбер АВ, АС и AD, если AD=2v5, AB=AC=10, BC=4v5.
Обозначим через $$H$$ расстояние от точки $$A$$ до плоскости, проходящей через середины рёбер $$AB$$, $$AC$$ и $$AD$$.
Пусть $$E$$, $$F$$, $$G$$ — середины рёбер $$AC$$, $$AB$$ и $$AD$$ соответственно. Тогда в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$EF$$ — средняя линия, значит
$$EF=\frac{BC}{2}=\frac{4\sqrt5}{2}=2\sqrt5.$$
Так как $$AD\perp (ABC)$$, то $$AD\perp AB$$ и $$AD\perp AC$$. Следовательно, треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ прямоугольные, поэтому
$$DB=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{(2\sqrt5)^2+10^2}=\sqrt{20+100}=\sqrt{120}=2\sqrt{30},$$
$$DC=\sqrt{AD^2+AC^2}=\sqrt{(2\sqrt5)^2+10^2}=\sqrt{120}=2\sqrt{30}.$$
Значит, треугольник $$DBC$$ равнобедренный, и его высота к основанию $$BC$$ равна
$$h_{DBC}=\sqrt{DC^2-\left(\frac{BC}{2}\right)^2}=\sqrt{120-20}=\sqrt{100}=10.$$
Тогда площадь треугольника $$DBC$$:
$$S_{DBC}=\frac12\cdot BC\cdot h_{DBC}=\frac12\cdot 4\sqrt5\cdot 10=20\sqrt5.$$
С другой стороны, если взять за основание пирамиды треугольник $$DBC$$, то
$$V_{DABC}=\frac13 S_{DBC}\cdot AH.$$
Но объём пирамиды можно выразить и через основание $$ABC$$:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot BC\cdot \sqrt{AB^2-\left(\frac{BC}{2}\right)^2}=\frac12\cdot 4\sqrt5\cdot 4\sqrt5=40,$$
поэтому
$$V_{DABC}=\frac13 S_{ABC}\cdot AD=\frac13\cdot 40\cdot 2\sqrt5.$$
Приравниваем два выражения для объёма:
$$\frac13\cdot 40\cdot 2\sqrt5=\frac13\cdot 20\sqrt5\cdot AH.$$
Отсюда
$$AH=4.$$
Плоскость, проходящая через середины рёбер $$AB$$, $$AC$$ и $$AD$$, является образом плоскости $$BCD$$ при гомотетии с центром в точке $$A$$ и коэффициентом $$\frac12$$. Поэтому расстояние от точки $$A$$ до этой плоскости вдвое меньше расстояния от $$A$$ до плоскости $$BCD$$, то есть
$$AM=\frac{AH}{2}=2.$$
Ответ
$$2$$