Упр.169 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 180°.

Подробный ответ

Пусть общая грань двугранных углов — прямая $$AB$$. Возьмём на ней точку $$O$$ и проведём в плоскости $$\alpha$$ прямую $$OC \perp AB$$, а в плоскости $$\beta$$ — прямую $$OD \perp AB$$.

Тогда углы $$\angle AOC$$ и $$\angle BOD$$ являются линейными углами данных двугранных углов.

Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ — различные полуплоскости одной плоскости, то точки $$C$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от прямой $$AB$$. Следовательно, лучи $$OC$$ и $$OD$$ являются противоположными, а углы $$\angle AOC$$ и $$\angle BOD$$ — смежные.

Сумма смежных углов равна $$180^\circ$$, значит, сумма линейных углов данных двугранных углов равна $$180^\circ$$. А значит, и сумма самих двугранных углов равна $$180^\circ$$.