Упр.169 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна $$180^\circ$$.

Возьмём на общей грани двугранных углов прямую $$MN$$ и точку $$B\in MN$$. В плоскости $$\alpha$$ проведём через точку $$B$$ прямую $$BC\perp MN$$, а в плоскости $$\beta$$ — прямую $$BA\perp MN$$.

Тогда углы $$\angle ABC$$ и $$\angle CBD$$ являются линейными углами данных двугранных углов. Обозначим их через $$\varphi_1$$ и $$\varphi_2$$.

Так как лучи $$BA$$ и $$BC$$ лежат в одной плоскости, а точки $$A$$ и $$C$$ находятся по разные стороны от прямой $$MN$$, то углы $$\angle ABC$$ и $$\angle CBD$$ смежные. Следовательно,

$$\varphi_1+\varphi_2=180^\circ.$$

Значит, сумма данных двугранных углов равна $$180^\circ$$.

Ответ: $$180^\circ$$.