Упр.168 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Двугранный угол равен $$\varphi$$. На одной грани этого угла лежит точка, удалённая на расстояние $$d$$ от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

Пусть $$AB$$ — ребро двугранного угла, $$\alpha$$ и $$\beta$$ — его грани, $$\angle(\alpha,\beta)=\varphi$$. Точка $$C$$ лежит на грани $$\alpha$$, причём $$CA=d$$, где $$A\in AB$$ и $$CA\perp \beta$$. Нужно найти расстояние от точки $$C$$ до ребра $$AB$$.

Проведём в плоскости $$\alpha$$ через точку $$C$$ прямую $$CB$$, перпендикулярную ребру $$AB$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$CB\perp \beta$$, а значит, $$CB$$ — искомое расстояние от точки $$C$$ до плоскости $$\beta$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CAB$$. В нём $$\angle CBA=\varphi$$, а противолежащий этому углу катет равен $$CA=d$$. Поэтому

$$\sin\varphi=\frac{CA}{CB}=\frac{d}{CB}.$$

Отсюда

$$CB=\frac{d}{\sin\varphi}.$$

Ответ: $$\frac{d}{\sin\varphi}$$.