Упр.167 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В тетраэдре $$DABC$$ все рёбра равны, точка $$M$$ — середина ребра $$AC$$. Докажите, что $$\angle DMB$$ — линейный угол двугранного угла $$BACD$$.

Рассмотрим грани $$\triangle ADC$$ и $$\triangle ABC$$. Так как тетраэдр правильный, то эти треугольники равносторонние, а значит, медианы, проведённые из вершины $$D$$ и $$B$$ к стороне $$AC$$, являются высотами.

Следовательно, $$DM \perp AC$$ и $$BM \perp AC$$, причём $$M \in AC$$.

Прямые $$DM$$ и $$BM$$ лежат соответственно в плоскостях $$ACD$$ и $$ABC$$, перпендикулярны линии их пересечения $$AC$$ и проходят через точку $$M$$. Значит, угол между ними является линейным углом двугранного угла $$BACD$$.

Итак, $$\angle DMB$$ — линейный угол двугранного угла $$BACD$$.