Упр.166 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Неперпендикулярные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$MN$$. В плоскости $$\beta$$ из точки $$A$$ проведён перпендикуляр $$AB$$ к прямой $$MN$$ и из той же точки $$A$$ проведён перпендикуляр $$AC$$ к плоскости $$\alpha$$. Докажите, что $$\angle ABC$$ — линейный угол двугранного угла $$AMNC$$.

Проведём в плоскости $$\beta$$ через точку $$A$$ прямую $$BC$$, причём $$BC \perp MN$$. Тогда прямая $$BC$$ является проекцией наклонной $$AC$$ на плоскость $$\beta$$, а $$AB \perp MN$$ по условию.

Так как $$AC \perp \alpha$$, то по теореме о трёх перпендикулярах прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной. Следовательно, $$BC \perp AC$$.

Кроме того, $$AB \perp MN$$ и $$BC \perp MN$$, значит, угол $$\angle ABC$$ является линейным углом двугранного угла $$AMNC$$ по определению.

Ответ: $$\angle ABC$$ — линейный угол двугранного угла $$AMNC$$.