Упр.166 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Неперпендикулярные плоскости а и P пересекаются по прямой MN. B плоскости p из точки A проведен перпендикуляр AB к прямой MN и из той же точки A проведен перпендикуляр AC к плоскости а. Докажите, что ZABC — линейный угол двугранного угла AMNC.

Проведём в плоскости $$\beta$$ через точку $$A$$ прямую $$BC$$, перпендикулярную прямой $$MN$$. Тогда $$AC \perp \alpha$$, а значит, $$AB$$ — наклонная к плоскости $$\alpha$$, и $$CB$$ — её проекция на плоскость $$\alpha$$.

По теореме о трёх перпендикулярах: если прямая в плоскости, проходящая через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. Следовательно, из $$AB \perp MN$$ и $$CB \perp MN$$ получаем, что $$AB \perp BC$$.

Кроме того, $$AB \perp MN$$ и $$CB \perp MN$$, значит, прямая $$MN$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$, а угол $$\angle ABC$$ является линейным углом двугранного угла с ребром $$MN$$, то есть двугранного угла $$AMNC$$.

Ответ

$$\angle ABC$$ — линейный угол двугранного угла $$AMNC$$.