Упр.165 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Из точки А, удаленной от плоскости у на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные AB и AC под углом 30° к плоскости. Их проекции на плоскость у образуют угол в 120°. Найдите ВС.

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$A$$ на плоскость $$\gamma$$. Тогда $$AH \perp \gamma$$ и $$AH=d$$.

Так как угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией на эту плоскость, то

$$\angle ABH=30^\circ,\qquad \angle ACH=30^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$ACH$$. У них

$$AH$$ — общая сторона, $$\angle AHB=\angle AHC=90^\circ,$$

и $$\angle ABH=\angle ACH=30^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle ABH \cong \triangle ACH$$, откуда

$$BH=HC.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BHC$$. По условию

$$\angle BHC=120^\circ,\qquad BH=HC.$$

По теореме косинусов:

$$ BC^2=BH^2+HC^2-2\cdot BH\cdot HC\cos120^\circ $$

Так как $$BH=HC$$ и $$\cos120^\circ=-\frac12,$$ получаем

$$ BC^2=BH^2+BH^2-2BH^2\left(-\frac12\right)=3BH^2, $$

значит

$$BC=BH\sqrt3.$$

Найдём $$BH$$ из прямоугольного треугольника $$ABH$$:

$$ \tan30^\circ=\frac{AH}{BH} $$

откуда

$$ BH=\frac{AH}{\tan30^\circ}=d\sqrt3. $$

Тогда

$$ BC=BH\sqrt3=d\sqrt3\cdot\sqrt3=3d. $$

Ответ

$$BC=3d$$