Упр.165 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из точки $$A$$, удаленной от плоскости у на расстояние $$d$$, проведены к этой плоскости наклонные $$AB$$ и $$AC$$ под углом $$30^\circ$$ к плоскости. Их проекции на плоскость у образуют угол в $$120^\circ$$. Найдите $$BC$$.

Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AH$$ на плоскость $$\gamma$$. Тогда $$H$$ — основание перпендикуляра, а $$BH$$ и $$CH$$ — проекции наклонных $$AB$$ и $$AC$$ на плоскость.

Так как наклонные образуют с плоскостью угол $$30^\circ$$, то

$$\angle ABH=30^\circ,\qquad \angle ACH=30^\circ.$$

В прямоугольных треугольниках $$ABH$$ и $$ACH$$:

$$AH\perp \gamma \Rightarrow \angle AHB=\angle AHC=90^\circ,$$

$$AH$$ — общая сторона, $$\angle ABH=\angle ACH=30^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle ABH \cong \triangle ACH$$, значит

$$BH=CH.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BHC$$. По условию

$$\angle BHC=120^\circ,$$

а так как $$BH=CH$$, то по теореме косинусов:

$$BC^2=BH^2+CH^2-2\cdot BH\cdot CH\cos 120^\circ$$

$$BC^2=BH^2+BH^2-2BH^2\cdot\left(-\frac12\right)=3BH^2,$$

значит

$$BC=\sqrt{3}\,BH.$$

Найдём $$BH$$ из прямоугольного треугольника $$ABH$$. Так как $$\angle ABH=30^\circ$$, то

$$BH=AH\cdot \ctg 30^\circ=d\sqrt{3}.$$

Тогда

$$BC=\sqrt{3}\cdot d\sqrt{3}=3d.$$

Ответ

$$BC=3d.$$