Упр.163 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Наклонная $$AM$$, проведённая из точки $$A$$ к данной плоскости, равна $$d$$. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой $$AM$$ и данной плоскостью равен: а) $$45^\circ$$; б) $$60^\circ$$; в) $$30^\circ$$?

Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AH$$ на плоскость. Тогда $$H$$ — основание перпендикуляра, а $$HM$$ — проекция наклонной $$AM$$ на плоскость.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHM$$. Угол между прямой $$AM$$ и плоскостью равен углу между $$AM$$ и её проекцией $$HM$$, то есть $$\angle AMH=\varphi.$$

В прямоугольном треугольнике $$AHM$$ имеем

$$\cos\varphi=\frac{HM}{AM}.$$

Так как $$AM=d$$, то

$$HM=d\cos\varphi.$$

Теперь подставим значения угла:

$$\begin{aligned} \text{а) }& HM=d\cos45^\circ=d\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{d\sqrt2}{2},\\ \text{б) }& HM=d\cos60^\circ=d\cdot \frac12=\frac d2,\\ \text{в) }& HM=d\cos30^\circ=d\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{d\sqrt3}{2}. \end{aligned}$$

Ответ: а) $$\frac{d\sqrt2}{2}$$; б) $$\frac d2$$; в) $$\frac{d\sqrt3}{2}$$.