Упр.162 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая $$MA$$ проходит через точку $$A$$ плоскости $$\alpha$$ и образует с этой плоскостью угол $$\varphi_0<90^\circ$$. Докажите, что $$\varphi_0$$ является наименьшим из всех углов, которые прямая $$MA$$ образует с прямыми, проведёнными в плоскости $$\alpha$$ через точку $$A$$.

Обозначим через $$H$$ основание перпендикуляра, опущенного из точки $$M$$ на плоскость $$\alpha$$. Возьмём произвольную прямую $$p$$ в плоскости $$\alpha$$, проходящую через точку $$A$$ и отличную от прямой $$AH$$, и обозначим через $$\varphi$$ угол между прямыми $$MA$$ и $$p$$.

Проведём из точки $$M$$ перпендикуляр $$MN$$ к прямой $$p$$.

1. Если $$N \equiv A$$, то $$\varphi = 90^\circ$$, а значит, $$\varphi > \varphi_0$$.
2. Пусть теперь точки $$A$$ и $$N$$ не совпадают. Тогда треугольники $$ANM$$ и $$AHM$$ прямоугольные, причём $$AM$$ — их общая гипотенуза.

Из определения синуса острого угла получаем:

$$\sin \varphi = \frac{MN}{AM}, \qquad \sin \varphi_0 = \frac{MH}{AM}.$$

Так как $$MN > MH$$, то

$$\sin \varphi > \sin \varphi_0.$$

Оба угла $$\varphi$$ и $$\varphi_0$$ острые, поэтому из неравенства их синусов следует:

$$\varphi > \varphi_0.$$

Значит, угол $$\varphi_0$$ меньше любого угла, который прямая $$MA$$ образует с прямыми плоскости $$\alpha$$, проходящими через точку $$A$$. Следовательно, $$\varphi_0$$ — наименьший из этих углов.