Упр.161 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Луч $$BA$$ не лежит в плоскости неразвёрнутого угла $$CBD$$. Докажите, что если $$\angle ABC=\angle ABD$$, причём $$\angle ABC<90^\circ$$, то проекцией луча $$BA$$ на плоскость $$CBD$$ является биссектриса угла $$CBD$$.

Подробный ответ

Пусть $$\alpha$$ — плоскость угла $$CBD$$. Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AH$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда точка $$H$$ лежит в плоскости $$CBD$$, а проекцией луча $$BA$$ на плоскость $$\alpha$$ является луч $$BH$$. Нужно доказать, что $$BH$$ — биссектриса угла $$CBD$$.

Проведём в плоскости $$\alpha$$ через точку $$H$$ прямые $$HM \parallel BD$$ и $$HN \parallel BC$$. Тогда, так как $$AH \perp \alpha$$, имеем

$$AH \perp BD,\qquad AH \perp BC.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$ABH_1$$, где $$H_1$$ — основание перпендикуляра из $$H$$ на $$BC$$. В них:

$$AB$$ — общая гипотенуза;
$$\angle ABH=\angle ABC$$, $$\angle ABH_1=\angle ABD$$;
по условию $$\angle ABC=\angle ABD$$.

Следовательно, $$\triangle ABH \cong \triangle ABH_1$$ по гипотенузе и острому углу, откуда

$$BH=BH_1.$$

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$BMH$$ и $$BMH_1$$. У них:

$$BM$$ — общая сторона;
$$BH=BH_1$$;
$$\angle BMH=\angle BMH_1=90^\circ.$$

Значит, $$\triangle BMH \cong \triangle BMH_1$$ по двум катетам, поэтому

$$\angle MBH=\angle HBC.$$

Но луч $$BM$$ лежит в плоскости $$\alpha$$ и параллелен одной из сторон угла $$CBD$$, а потому угол $$MBH$$ равен углу между $$BH$$ и одной стороной угла $$CBD$$, а угол $$HBC$$ — углу между $$BH$$ и другой его стороной. Следовательно,

$$\angle CBH=\angle HBD,$$

то есть луч $$BH$$ является биссектрисой угла $$CBD$$. А значит, проекцией луча $$BA$$ на плоскость $$CBD$$ является биссектриса угла $$CBD$$.